2019届高三数学上学期期初模拟试卷带答案江苏溧水高中

2019届高三数学上学期期初模拟试卷带答案江苏溧水高中 江苏省溧水高级中学期初模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1、若复数z13i1i(i为虚数单位)，则 2、已知集合 ， ，且 ，则实数 的值是 3、某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 4、已知双曲线 的渐近线方程为 ，则实数m= 5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 6、从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 7、若圆柱的侧面积和体积的值都是 ，则该圆柱的高为 8、在等比数列 中,已知 ， ，则 9、已知函数 是定义在R上的奇函数，且当 0时， ，则不等式 的解集是 10、已知m(cos，sin)，n(2，1)，2，2，若mn1，则sin232 11、如图,在ABC中，D是BC上的一点已知B=60，AD=2，AC= ，DC= ，则AB= 12、如图，在 中， ， ， ， ，若 ，则 13、在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B，若A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为 14、已知函数f(x)2x23x，x0，exe2，x0.若不等式f(x)kx对xR恒成立，则实数k的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15、(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1B1D求证：(1) DE平面ABC1；(2) 平面AB1D平面ABC1 16、(本小题满分14分)在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC12cb.(1) 求角A的大小；(2) 若a15，b4，求边c的大小 17、(本小题满分14分)如图，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足F1MMP(R)，POF2M，O为坐标原点(1) 若椭圆方程为x28y241，且P(2，2)，求点M的横坐标；(2) 若2，求椭圆离心率e的取值范围 18、(本小题满分16分)如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上(点P,Q分别在点O的正东、正北方向),且要求PQ与圆A相切.(1) 当点P距O处2百米时,求OQ的长;(2) 当公路PQ的长最短时,求OQ的长. 19、(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)alnxx24x（1）当 时，求函数f (x)的极值；（2）若函数f (x)在2, 3上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)2al nxx25x1ax，若存在x01, e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围 20、(本小题满分16分)已知数列an的各项都为正数，且对任意nN*，a2n1，a2n，a2n1成等差数列，a2n，a2n1，a2n2成等比数列(1) 若a21，a53，求a1的值；(2) 设a1a2，求证：对任意nN*，且n2，都有an1ana2a1. 答案1、 ； 2、1； 3、16； 4、2； 5、28；6、 ； 7、3； 8、64； 9、 ；10、 ；11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 15、证明：(1) D、E分别为BC、CC1中点， DEBC1.(2分) DE 平面ABC1，BC1 平面ABC1， DE平面ABC1.(6分)(2) 直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC， AD 平面ABC， CC1AD.(8分) ABAC，D为BC中点， ADBC. CC1BCC，CC1，BC 平面BCC1B1， AD平面BCC1B1. BC1 平面BCC1B1， ADBC1.(11分) BC1B1D，B1DADD，B1D，AD 平面AB1D， BC1平面AB1D. BC1 平面ABC1，平面AB1D平面ABC1.(14分) 16、解：（1）因为mn3bcosB，所以acosCccosA3bcosB由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA3sinBcosB，3分所以sin(AC)3sinBcosB，所以sinB3sinBcosB因为B是ABC的内角，所以sinB0，所以cosB137分（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2ac由正弦定理，得sin2BsinAsinC 9分因为cosB13，B是ABC的内角，所以sinB22311分又1tanA1tanCcosAsinAcosCsinCcosAsinCsinAcosCsinAsinCsin(AC)sinAsinCsinBsinAsinCsinBsin2B1sinB32414分17.解：(1) x28y241， F1(2，0)，F2(2，0)， kOP22，kF2M2，kF1M24，直线F2M的方程为y2(x2)，直线F1M的方程为y24(x2)(4分)由y2（x2），y24（x2），解得x65，点M的横坐标为65.(5分)(2) 设P(x0，y0)，M(xM，yM)，F1M2MP，F1M23(x0c，y0)(xMc，yM)， M23x013c，23y0，F2M23x043c，23y0. POF2M，OP(x0，y0)，23x043cx023y200，即x20y202cx0.(8分)联立方程得x20y202cx0，x20a2y20b21，消去y0得c2x202a2cx0a2(a2c2)0，解得x0a（ac）c或 x0a（ac）c.(11分)ax0a， x0a（ac）c(0，a)， 0a2ac12.综上，椭圆离心率e的取值范围为12，1.(14分) 18.解：以 为原点，直线 、 分别为 轴建立平面直角坐标系设 与圆 相切于点 ，连结 ，以 百米为单位长度，则圆 的方程为 ，(1)由题意可设直线 的方程为 ，即 ， ， 与圆 相切， ，解得 ，故当 距 处 百米时， 的长为 百米6分（2）设直线 的方程为 ，即 ， ， 与圆 相切， ，化简得 ，则 ，9分令 ， ，当 时， ，即 在 上单调递减；当 时， ，即 在 上单调递增， 在 时取得最小值，故当公路 长最短时， 的长为 百米答：（1)当 距 处 百米时， 的长为 百米；（2）当公路 长最短时， 的长为 百米16分 19. （1）定义域为 ， ，令 ，则 当 时， ；当 时， 所以当 时 有极小值 ，无极大值.4分(2) ，当 时， ， 在 上递增，成立；6分当 时，令 ，则 ，或 ，所以 在 上存在单调递增区间，所以 ，解得 综上， .10分（3）在1,e上存在一点x0，使得 成立，即在1,e上存在一点 ，使得 ，即函数 在1,e上的最小值小于零有 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 的最小值为 ，由 可得 ，因为 ，所以 ；12分当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 最小值为 ，由 可得 ；14分当 ，即 时，可得 最小值为 ，因为 ，所以， ，故 此时不存在 使 成立综上可得所求 的范围是： 或 16分20. (1) 解：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a332d，a43d.因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2a23a4（32d）23d.(3分)因为a21，所以（32d）23d1，解得d2或d34.因为an0，所以d34.因为a1，a2，a3成等差数列，所以a12a2a32(32d)12.(5分)(2) 证明：(证法1)因为a2n1，a2n，a2n1成等差数列，a2n，a2n1，a2n2成等比数列，所以2a2na2n1a2n1，a22n1a2na2n2.所以a22n1a2n2a2n，n2.所以a2n2a2na2na2n22a2n.因为an0，所以a2n2a2n22a2n.(7分)即数列a2n是等差数列所以a2na2(n1)(a4a2)由a1，a2及a2n1，a2n，a2n1是等差数列，a2n，a2n1，a2n2是等比数列，可得a4（2a2a1）2a2.所以a2na2(n1)(a4a2)（a2a1）na1a2.所以a2n（a2a1）na12a2.所以a2n2（a2a1）（n1）a12a2.(10分)从而a2n1a2na2n2（a2a1）na1（a2a1）（n1）a1a2.所以a2n1（a2a1）（n1）a1（a2a1）na1a2.当n2m，mN*时，an1ana2a1（a2a1）ma1（a2a1）（m1）a1a2（a2a1）ma12a2a2a1（a2a1）（m1）a1（a2a1）ma1a2a1m（a2a1）2a1（a2a1）ma10.(14分)当n2m1，mN*，m2时，an1ana2a1（a2a1）ma12a2（a2a1）（m1）a1（a2a1）ma1a2a2a1（a2a1）ma1（a2a1）（m1）a1a2a1（m1）（a1a2）2a1（a2a1）（m1）a10.综上，对一切nN*，且n2，都有an1ana2a1.(16分)(证法2)若n为奇数且n3时，则an，an1，an2成等差数列因为an2an1an1anan2ana2n1an1an（2an1an）ana2n1an1an（an1an）2an1an0，所以an2an1an1an.(9分)若n为偶数且n2时，则an，an1，an2成等比数列，所以an2an1an1an.(11分)由可知，对任意n2，nN*，an2an1an1ana3a2.(14分)因为a3a2a2a12a2a1a2a2a12a2a1a21a22a2a1（a1a2）2a2a1，因为a1a2，所以（a1a2）2a2a10，即a3a2a2a1.综上，对一切nN*，且n2，都有an1ana2a1.(16分) 江苏省溧水高级中学期初模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21、B (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A 1 21 4，求矩阵A的特征值和特征向量 21、C (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程为x2cost，y2sint(t为参数)，曲线C在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程 22、如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.(1) 若m1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是13？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由 23、已知甲箱中装有3个红球,3个黑球,乙箱中装有2个红球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同,某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球,共4个球,若摸出4个球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有3个红球,则获得二等奖;摸出的球中有2个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖,每次摸球结束后将球放回原箱中.(1) 求在1次摸奖中,获得二等奖的概率;(2) 若连续摸奖2次,求获奖次数X的分布列及数学期望E(X). 21B. 解：矩阵A的特征多项式为f()1214256，(2分)由f()0，解得12，23.(4分)当12时，特征方程组为x2y0，x2y0，故属于特征值12的一个特征向量121；(7分)当23时，特征方程组为2x2y0，xy0，故属于特征值23的一个特征向量211.(10分)21C. 解：由题意，得曲线C：x2y24，切线l的斜率k33，切线l的方程为y333(x1)，即x3y40，切线l的极坐标方程为sin62.(10分) 22、解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)(2分)所以BD1(1，1，2)，AP(1，1，1)cosBD1，APBD1AP|BD1|AP|26323，即异面直线AP与BD1所成角的余弦是23.(5分) (2) 假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于13，则D1B1(1，1，0)，AD1(1，0，2)，AP(1，1，m)设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则由nD1B1，nAD1，得xy0，x2z0，取x2，得平面AB1D1的法向量为n(2，2，1)(7分)由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于13，得22m3m2213，解得m74.因为0m2，所以m74满足条件，所以当m74时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于13.(10分) 23、 (1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件 ，则 4分 (2)设“在1次摸奖中，获奖” 为事件 ，则获得一等奖的概率为 ；获得三等奖的概率为 ；所以 8分由题意可知 的所有可能取值为0，1，2 ， ， 所以 的分布列是 所以 10分