2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析.doc

2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若ab0，下列命题为真命题的是（）Aa2b2Ba2abC1D2在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，A=60，则C的大小为（）A或B或CD3在ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=（）ABC8D124等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为（）A81B120C168D1925不等式0的解集为（）ABCD6等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD7已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A12B11C3D18ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD9数列an是首项为a1=11，公差为d=2的等差数列，那么使前n项和Sn最大的n值为（）A4B5C6D710某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元 设该设备使用了n（nN*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A6B5C4D3二填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11数列an的前n项和为Sn，若an=，则S5=12已知ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于13若x（1，+），则y=x+的最小值是14等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=15在ABC中，若=，则ABC的形状为16已知数列an的前n项的和为Sn，a1=1，a2=2，满足Sn+1=3Sn2Sn1an1+2（n2），则axx=三解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解关于x的不等式（xa）（x+a1）018在ABC中，B=，AB=4，点D在BC上，且CD=3，cosADC=（I）求sinBAD； （）求BD，AC的长19在等差数列an中，a1=，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2（I）求an与bn；（）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和Tn四填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）20已知数列an满足an+1=2an+1，且a1=1，则an=21在ABC中，A=30，AB=，BC=1，则ABC的面积等于22甲船在岛B的正南处，AB=5km，甲船以每小时2km的速度速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是小时23正数m，n满足的最小值为24已知数列an满足an=nkn（nN*，0k1），给出下列命题：当k=时，数列an为递减数列当k1时，数列an不一定有最大项当0k时，数列an为递减数列当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号五解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤25已知函数f（x）=（x0）（I）当a0时，求函数f（x）的最小值；（）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围26在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足cos2A+2sin2（+B）+2cos2（+C）1=2sinBsinC（）求角A的大小；（）若b=4，c=5，求sinB27已知函数f（x）=x2tan2+xcos（+），其中tan=，（0，）（I）求f（x）的解析式；（）若数列an满足a1=，an+1=f（an），nN*求证：1+（nN*，n2）xx学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若ab0，下列命题为真命题的是（）Aa2b2Ba2abC1D【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论【解答】解：ab0，a2b2，故A错误；a2ab，故B错误；1，故C正确；ab0，即，故D错误；故选：C2在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，A=60，则C的大小为（）A或B或CD【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理可得： =，化为：sinC=，ca，C为锐角，C=故选：D3在ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=（）ABC8D12【考点】余弦定理【分析】直接利用余弦定理即可计算求值得解【解答】解：b=3，c=1，cosA=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=9+12=8，解得：a=2故选：B4等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为（）A81B120C168D192【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出an的前4项和【解答】解：因为=q3=27，解得q=3又a1=3，则等比数列an的前4项和S4=120故选B5不等式0的解集为（）ABCD【考点】其他不等式的解法【分析】由不等式可得，由此解得不等式的解集【解答】解：由不等式可得，解得x1，故不等式的解集为，故选A6等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，解得故选C7已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A12B11C3D1【考点】简单线性规划【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=33+2=11故选 B8ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD【考点】余弦定理；等比数列【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B9数列an是首项为a1=11，公差为d=2的等差数列，那么使前n项和Sn最大的n值为（）A4B5C6D7【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列an的首项a1=11，公差d=2写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求【解答】解：在等差数列an中，由首项a1=11，公差d=2，得an=a1+（n1）d=112（n1）=132n由an=132n0，得n等差数列an中，a60，a70，当n=6时，前n项和Sn取得最大值故选：C10某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元 设该设备使用了n（nN*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A6B5C4D3【考点】函数模型的选择与应用【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论【解答】解：设该设备第n年的营运费为an，万元，则数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为Tn=n2+n，设第n年的盈利总额为Sn，则Sn=11n（n2+n）9=n2+10n9，年平均盈利额=10（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故选：D二填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11数列an的前n项和为Sn，若an=，则S5=【考点】数列的求和【分析】S5=a1+a2+a5=，然后利用裂项求和法进行运算【解答】解：S5=a1+a2+a5=故答案为12已知ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于2【考点】三角形的形状判断【分析】画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离即可【解答】解：由题意AB=，BC=1，tanC=，可知C=60，B=90，三角形ABC是直角三角形，所以AC=2故答案为：213若x（1，+），则y=x+的最小值是2+1【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式即可得出【解答】解：x（1，+），x10，y=x+=x1+12+1=2+1，当且仅当x=1+时取等号，y=x+的最小值是2+1故答案为：14等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=10【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知得a5a6=9，从而log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a10）（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6），由此能求出结果【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，a5a6+a4a7=2a5a6=18，a5a6=9，log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2a3a10）=log3（a1a10）（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=5log39=10故答案为：1015在ABC中，若=，则ABC的形状为等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理；弦切互化【分析】左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，得到答案【解答】解：原式可化为=sin2A=sin2B2A=2B或2A=2BA=B或A+B=故答案为等腰三角形或直角三角形16已知数列an的前n项的和为Sn，a1=1，a2=2，满足Sn+1=3Sn2Sn1an1+2（n2），则axx=xx22【考点】数列递推式【分析】由Sn+1=3Sn2Sn1an1+2（n2），得Sn+1Sn=2（SnSn1）an1+2（n2），即an+1=2anan1+2（n2），则（an+1an）（anan1）=2（n2），说明数列an+1an是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出数列an的通项公式得答案【解答】解：由Sn+1=3Sn2Sn1an1+2（n2），得Sn+1Sn=2（SnSn1）an1+2（n2），an+1=2anan1+2（n2），则（an+1an）（anan1）=2（n2），数列an+1an是以a2a1=2（1）=3为首项，以2为公差的等差数列，则an+1an=3+2（n1）=2n+1，a2a1=21+1，a3a2=22+1，a4a3=23+1，anan1=2（n1）+1，累加得：ana1=21+2+3+（n1）+（n1）=，则，故答案为：xx22三解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解关于x的不等式（xa）（x+a1）0【考点】一元二次不等式的解法【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出【解答】解：不等式（xa）（x+a1）0对应方程的实数根为a和1a；当1a=a，即a=时，不等式化为0，x，不等式的解集为x|x；当1aa，即a时，解得x1a或xa，不等式的解集为x|x1a或xa；当1aa，即a时，解得xa或x1a，不等式的解集为x|xa或x1a综上，当a=时，不等式的解集为x|x；当a时，不等式的解集为x|x1a或xa；当a时，不等式的解集为x|xa或x1a18在ABC中，B=，AB=4，点D在BC上，且CD=3，cosADC=（I）求sinBAD； （）求BD，AC的长【考点】三角形中的几何计算【分析】（）由ADC+ADB=和诱导公式求出cosADB，由平方关系求出sinADB，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sinBAD；（）在ABD中由正弦定理求出BD、AD，在ADC中由余弦定理求出AC的值【解答】解：（）ADC+ADB=，且cosADC=，cosADB=，sinADB=，由B+ADB+BAD=得，sinBAD=sin（B+ADB）=sinBcosADB+cosBsinADB=；（）在ABD中，由正弦定理得，BD=4，由正弦定理得，AD=，在ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC22ADDCcosADC=20+9=17，AC=19在等差数列an中，a1=，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2（I）求an与bn；（）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）根据b2=q，列方程组计算q与S2，从而得出an的公差，从而得出an，bn的通项公式；（II）使用错位相减法求出Tn【解答】解：（I）bn为等比数列，公比为q，b1=1，b2=q，解得q=3，S2=1a1=，a2=an的公差为an=，bn=3n1（II）cn=n3n2Tn=131+230+331+432+n3n2，3Tn=130+231+332+433+（n1）3n2+n3n1，得：2Tn=31+30+31+32+3n2n3n1=n3n1=（）3n1Tn=+四填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）20已知数列an满足an+1=2an+1，且a1=1，则an=2n1【考点】数列递推式【分析】由已知条件得an+1+1=2（an+1），从而得到an+1是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出an【解答】解：数列an满足an+1=2an+1，且a1=1，an+1+1=2（an+1），又a1+1=2，an+1是首项为2，公比为2的等比数列，an=2n1故答案为：2n121在ABC中，A=30，AB=，BC=1，则ABC的面积等于或【考点】正弦定理【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosA，a与c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：在ABC中，A=30，AB=c=，BC=a=1，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=b2+33b，解得：b=1或b=2，则SABC=bcsinA=或故答案为：或22甲船在岛B的正南处，AB=5km，甲船以每小时2km的速度速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是小时【考点】解三角形的实际应用【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=52x，BD=3x，CBD=120CD2=BC2+BD22BCBDcosCBD=（52x）2+9x2+2（52x）3x=7x25x+25当x=小时时甲、乙两船相距最近，故答案为：23正数m，n满足的最小值为8【考点】基本不等式【分析】由正数m，n满足2m+n=1，知=（）（2m+n）=4+4+2，由此能求出的最小值【解答】解：正数m，n满足2m+n=1，=（）（2m+n）=2+24+2=8当且仅当，即m=，n=时，取最小值8故答案为：824已知数列an满足an=nkn（nN*，0k1），给出下列命题：当k=时，数列an为递减数列当k1时，数列an不一定有最大项当0k时，数列an为递减数列当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号【考点】数列的函数特性【分析】由于=，再根据k的条件讨论即可得出【解答】解：当k=时，=，当n=1时，a1=a2，因此数列an不是递减数列，故不正确；当k1时， =，由于k1+2k，因此数列an一定有最大项当0k时， =1，an+1an因此数列an为递减数列，正确当为正整数时， =1，因此数列an必有两项相等的最大项，故正确综上可知：只有正确故答案为：五解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤25已知函数f（x）=（x0）（I）当a0时，求函数f（x）的最小值；（）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可【解答】解：（）f（x）=x+2，（x0），a0，x0，f（x）2+2=2+2，当且仅当x=时“=”成立，（）f（x）=x+2，（x1），f（x）=，a1时，f（x）0，f（x）在1，+）递增，f（x）f（1）=a+30，解得：3a1，a1时，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：1x，f（x）在1，）递减，在（，+）递增，f（x）f（）=2+20成立，综上a326在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足cos2A+2sin2（+B）+2cos2（+C）1=2sinBsinC（）求角A的大小；（）若b=4，c=5，求sinB【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由条件可得sin2B+sin2Csin2A=sinBsinC，再由正弦定理得b2+c2a2=bc，由余弦定理求得，从而求得A的值（）由a2=b2+c22bccosA=21，求得，再由正弦定理，求得sinB的值【解答】解：（），sin2B+sin2Csin2A=sinBsinC，由正弦定理得b2+c2a2=bc，由余弦定理得，0A，（）a2=b2+c22bccosA=，由正弦定理，求得，解得27已知函数f（x）=x2tan2+xcos（+），其中tan=，（0，）（I）求f（x）的解析式；（）若数列an满足a1=，an+1=f（an），nN*求证：1+（nN*，n2）【考点】数列与不等式的综合；正弦函数的图象【分析】（）由tan=求得tan2及sin、cos的值，代入原函数可得函数解析式；（）由an+1=f（an）求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，结合已知放缩得答案【解答】（）解：tan=，（0，），tan2=，由，解得（0）cos（+）=coscossinsin=，f（x）=x2tan2+xcos（+）=；（）证明：由an+1=f（an），得，则an+1ana1，an+1=an（an+1），则，又a1=，+=1+xx年10月17日