2019年高考数学一轮复习 高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系 文.doc

2019年高考数学一轮复习 高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系 文一、选择题1已知过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|3，则直线l的斜率为()A1B.C. D2解析：选D由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，由|AF|3xA1，得xA2，又点A在第一象限，故A(2,2)，故直线l的斜率为2.2若直线ykx2与抛物线y2x有一个公共点，则实数k的值为()A. B0C. 或0 D8或0解析：选C由得ky2y20，若k0，直线与抛物线有一个交点，则y2，若k0，则18k0，k，综上可知k0或 .3已知双曲线C：1(a0，b0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()A2 B.C. D. 解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由AB的中点为N(12,15)，得x1x224，y1y230，由两式相减得：，则.由直线AB的斜率k1，1，则，双曲线的离心率e.4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k ()A. B.C. D2解析：选D如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，所以GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.5已知F是双曲线1(a0，b0)的右焦点，A，B分别为其左、右顶点O为坐标原点，D为其上一点，DFx轴过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|2|ON|，则双曲线的离心率为()A3 B4C5 D6解析：选C如图，设A(a,0)，B(a,0)，M(0，2m)，N(0，3m)则直线AM的方程为yx2m，直线BN的方程为yx3m.直线AM，BN的交点D(c，y0)，2m3m，则5，双曲线的离心率为5.6斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2| ，故当t0时，|AB|max.二、填空题7焦点是F(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_解析：设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦AB的中点坐标为，且，.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得23，所以a23b2.又c2a2b250，所以a275，b225.故所求椭圆的标准方程为1.答案：18经过双曲线1(a0，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为_解析：经过双曲线1(a0，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线yx平行，tan 60，即ba，c2a，故e2.答案：29抛物线x24y与直线x2y20交于A，B两点，且A，B关于直线y2xm对称，则m的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2), 联立消去y，得x22x40.则x1x22，1.y1y2(x1x2)23，. A，B关于直线y2xm对称，AB的中点在直线y2xm上，即21m，解得m.答案：三、解答题10椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F2(c,0)垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点且|PQ|，又过左焦点F1(c,0)作直线l交椭圆于两点(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求AOB面积的最大值解：(1)由题意可知|PQ|. 又椭圆的离心率e ，则， 由解得a23，b22，椭圆的方程为1.(2)由(1)可知左焦点F1(1,0), 依题意，直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k0时，可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，则直线AB的方程可设为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(2k23)x26kmx3k2m26k20，(6km)24(2k23)(3k2m26k2)0，则m2k22k230， x1x2，x1x2.设AB的中点为C(xC，yC)，则xC，yC.点C在直线l上，k，则m2k， 此时m224k2100与矛盾，故k0时不成立. 当直线l的斜率k0时，A(x0，y0)，B(x0，y0)(x00，y00)，AOB的面积S2y0x0x0y0.12 x0y0，x0y0.当且仅当时取等号AOB的面积的最大值为.11已知抛物线E：y22px(p0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为1，求直线l的方程解：(1)抛物线E：y22px(p0)的准线方程为x，由抛物线的定义可知3 4，解得p2，抛物线E的方程为y24x.(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y24x，焦点F(1,0)，设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，整理得 (x1x2)线段AB中点的纵坐标为1，直线l的斜率kAB2，直线l的方程为y02(x1)，即2xy20.法二：由(1)得抛物线E的方程为y24x，焦点F(1,0)，设直线l的方程为xmy1，由消去x，得y24my40. 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 线段AB中点的纵坐标为1，1，解得m，直线l的方程为xy1，即2xy20.12(xx海口调研)已知椭圆C：1(ab0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e，点M为椭圆上的一个动点，MAB面积的最大值是2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当0时，求点P的坐标解：(1)由题意可知解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为yk(x2)，D(x1，y1)，把yk(x2)代入椭圆方程1，整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1x1，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y，得P.又0，即0，化简得064k428k2360，解得k. 故P或.1已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记，若直线l的斜率k，则的取值范围为_解析：椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，离心率为，解得a，bc1，椭圆C的方程为y21.过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设直线l的方程为yk(x1)，联立得(2k21)x24k2x2k220, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2，则x1x2，x1x2， .k，当k时，max ，当k时，min，的取值范围是.答案：2已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；(3)在(2)的条件下，求FPQ面积的最小值解：(1)由题意可知，动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线，所以点M的轨迹C的方程为y24x.(2)证明：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为yk(x1)，k0，由得k2x2(2k24)xk20.(2k24)24k416k2160.因为直线l1与曲线C交于A，B两点，所以x1x22，y1y2k(x1x22).所以点P的坐标为.由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为(12k2，2k)当k1时，有112k2，此时直线PQ的斜率kPQ.所以直线PQ的方程为y2k(x12k2)，整理得yk2(x3)ky0.于是直线PQ恒过定点E(3,0)；当k1时，直线PQ的方程为x3，也过点E(3,0)综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)(3)由(2)得|EF|2，所以FPQ面积S|EF|24，当且仅当k1时，“”成立，所以FPQ面积的最小值为4.