2019年高考数学二轮复习 第三篇 攻坚克难 压轴大题多得分 第29练 直线与圆锥曲线的位置关系练习 文.doc

2019年高考数学二轮复习 第三篇 攻坚克难 压轴大题多得分 第29练 直线与圆锥曲线的位置关系练习 文明考情直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置.知考向1.直线与椭圆.2.直线与抛物线.考点一直线与椭圆方法技巧对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成xmyb的形式.(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.(3)一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.1.(xx天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y22px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为，求直线AP的方程.解(1)设点F的坐标为(c，0)，依题意，得，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0)，与直线l的方程x1联立，可得点P，故点Q.将xmy1与x21联立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x1)0，令y0，解得x，故点D.所以|AD|1.又因为APD的面积为，故，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m.所以直线AP的方程为3xy30或3xy30.2.(xx全国)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，椭圆E的方程为1，A(2，0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()，得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得k0，即m1时，x1，222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42|m1|，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.7.已知圆C过定点F，且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk(x1)(kR)相交于A，B两点.(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于时，求k的值.解(1)由题意，点C到定点F和直线x的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，有y1y2，y1y21.设直线l与x轴交于点N，则N(1，0).SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1.SOAB，解得k.8.已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.又由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.例(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)由题意知1.又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.2分(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，(0)，由题意知Q(x0，y0).因为y1，又1，即1，所以2，即2.5分设A(x1，y1)，B(x2，y2).将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2， (*)则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.8分因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.9分设t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，10分故0S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.11分由知，ABQ的面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.12分构建答题模板第一步求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.第二步联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判别式，利用根与系数的关系.第三步找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.第四步建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.第五步得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.1.设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求椭圆E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求椭圆E的方程.解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知，x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.2.已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)方法一由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k，从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23，故椭圆E的方程为1.方法二由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2，依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB，因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23，故椭圆E的方程为1.3.设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若8，O为坐标原点，求OCD的面积.解(1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以.因为椭圆的离心率为，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知F(1，0)，则直线CD的方程为yk(x1).联立消去y得(23k2)x26k2x3k260.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k.从而x1x2，x1x20.所以|x1x2|，|CD|x1x2|.而原点O到直线CD的距离d，所以OCD的面积S|CD|d.4.(xx北京)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解由抛物线C：y22px过点P(1，1)，得p，所以抛物线C的方程为y2x，抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点.5.已知椭圆C：1(ab0)经过点，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P，求直线l的方程.解(1)由题意得解得a2，b1，c，所以椭圆C的方程是y21.(2)设直线l的方程为ykxt(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立消去y得(14k2)x28ktx4t240，所以x1x2，x1x2.所以y1y2(kx1t)(kx2t)，y1y2k(x1x2)2t.因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以0，即x1x2y1y205t244k2.由(8kt)24(14k2)(4t24)16(4k21t2)0，可得4k21t2t或t.设A，B的中点为D(m，n)，则m，n.因为直线PD与直线l垂直，所以kPD，整理得.由解得t1或.当t时，0不成立.当t1时，k，所以直线l的方程为yx1或yx1.