2019-2020年高考数学总复习考前三个月压轴小题突破练3与立体几何有关的压轴小题理.doc

2019-2020年高考数学总复习考前三个月压轴小题突破练3与立体几何有关的压轴小题理1.(xx届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为()A.4 B. C.4 D.答案D解析由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r1，高h2，故其体积V1r2h122；四棱锥的底面ABCD为边长为2的正方形，PO底面ABCD，且POr1.故其体积V2S正方形ABCDPO221.故该几何体的体积VV1V2.2.如图，正四面体DABC的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是()A.OABC是正三棱锥B.直线OB与平面ACD相交C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为D.异面直线AB和CD所成的角是90答案C解析如图ABCD为正四面体，ABC为等边三角形，又OA，OB，OC两两垂直，OA平面OBC，OABC.过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，可知BCAM，M为BC的中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点，N为底面ABC的中心，OABC是正三棱锥，故A正确；将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行，则B正确；由图可知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为，则C错误；异面直线AB和CD所成角是90，故D正确.3.如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将DAF沿AF折起，使得平面ABD平面ABC.设直线FD与平面ABCF所成角为，则sin 的最大值为()A. B. C. D.答案C解析如图，在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于点O，交AB于点M.设CFx(0x1)，AMt，由DAMFDA，得，即有t，由0x1，得t1.在翻折后的几何体中，AFOD，AFOM，AF平面ODM，从而平面ODM平面ABC，又平面ABD平面ABC，则DM平面ABC，连接MF，则MFD是直线FD与平面ABCF所成角，即MFD，而DM，DF2x，则sin t，由于t21，则当t2时，sin 取到最大值，其最大值为.4.(xx届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A.3 B. C.4 D.答案A解析由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S423.5.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A.2 B.1 C. D.答案C解析球心在面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，BAC90，底面外接圆圆心N位于BC的中点处，A1B1C1外心M在B1C1中点上，设正方形BCC1B1的边长为x，在RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1，221，即x，则ABAC1，1.6.(xx河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足APDMPC，则三棱锥PBCD体积的最大值是()A.36 B.12 C.24 D.18答案B解析AD底面D1DCC1，ADDP，同理BC平面D1DCC1，则BCCP，APDMPC，PADPMC，AD2MC，PD2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)，设P(x，y)，PD2PC，2，化简得(x8)2y216(0x6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，2)，三棱锥PBCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6，2)时，CP2，棱锥的高最大，此时三棱锥PBCD的体积V18212，故选B.7.(xx届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线AC1上取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球，设APx，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图象最有可能的是()答案A解析球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：当x1时；当x时；当x时.当x1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为321，且为函数f(x)的最大值；当x时，以A为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半；当x时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为32，对照选项可得A正确.8.已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥SABC的体积为()A. B. C. D.答案C解析由条件知直径SC所对的圆周角SBCSAC90，由已知ASCBSC45，SBC与SAC是全等的等腰三角形，设球的球心为点O，BOSC，AOSC，即SC平面AOB，由条件OAOB2，则OAB为等边三角形，VSABCSOABSC4.9.(xx届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCDA1B1C1D1的外接球O的体积为，其中BB12，则三棱锥OABC的体积的最大值为()A.1 B.3 C.2 D.4答案A解析由题意设外接球的半径为R，则由题设可得R3，由此可得R2，记长方体的三条棱长分别为x，y，2，则2R，由此可得x2y212，三棱锥OABC的体积Vxy1xy1，当且仅当xy时“”成立.故选A.10.(xx浙江温州中学模拟)已知四边形ABCD，ABBDDA2，BCCD.现将ABD沿BD折起，当二面角ABDC处于过程中，直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是()A. B.C. D.答案D解析如图所示，取BD的中点E，连接AE，CE，AEC即为二面角ABDC的平面角，而AC2AE2CE22AECEcosAEC42cosAEC，AEC，AC1，2cos，()2ABBC1，设异面直线AB，CD所成的角为，0cos ，故选D.11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球的表面积为_.答案解析根据题意可知，三棱锥BACD的三条侧棱BDAD，DCDA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中，底面边长为1，高为.由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明该中点就是外接球的球心，正三棱柱ADCBDC的外接球的球心为O，外接球的半径为r.球心到底面的距离为，则球的半径满足r222，外接球的表面积为4r2.12.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD分别交于M，N两点，设BMx，x0，1，给出以下四个结论：平面MENF平面BDDB；直线AC平面MENF始终成立；四边形MENF周长Lf(x)，x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积Vh(x)为常数.以上结论正确的是_.答案解析因为EFBB，EFBD，BBBDB，所以EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB成立；因为ACEF，所以直线AC平面MENF始终成立；因为MF，f(x)4，所以f(x)在0，1上不是单调函数；VCMENFVFMCEVFCNE，故h(x)为常数.13.在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA3，PB2，PC1，设M是底面ABC内一点，定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥MPAB，三棱锥MPBC，三棱锥MPCA的体积，若f(M)，且8，则正实数a的最小值为_.答案1解析依题意，xy3211，即xy，2(xy)22(1a2)2(1)2，由题设2(1)28，解得a1，故正实数a的最小值为1.14.(xx江西南阳一中月考)如图，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，则三棱锥DAEF体积的最大值为_.答案解析AD平面ABC，DAAB，ADBC，AEDB，又ADAB2，DE.又BCAC，ACADA，BC平面ACD，平面BCD平面ACD，AFDC，平面BCD平面ACDCD，AF平面ACD，AF平面BCD，AFBD，又AEBD，BD平面AEF，由AFEF，得AF2EF2AE222AFEF，即AFEF1，SAEF，当且仅当AFEF1时“”成立，三棱锥DAEF体积的最大值为.