2019-2020年高中数学1.4.1生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修2-2.doc

优化问题 2019-2020 年高中数学 1.4.1 生活中的优化问题举例教学案新人教 A 版选 修 2-2 【预习目标】 预习优化问题，初步体会导数在解决实际问题中的作用。 【预习内容】 1、简述如何利用导数求函数极值和最值？ 2、 通常称为优化问题。 3、利用导数解决优化问题的基本思路： 【提出疑惑】 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 【学习目标】 1、掌握有关实际问题中的优化问题； 2、形成求解优化问题的思路和方法。 学习重难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。 【学习过程】 （一） 情景问题： 汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消 耗量是汽车速度的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题： 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ “汽油的使用率最高”的含义是什么？ （二） 合作探究、精讲点拨 例 1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 探究 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？ 例 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 探究 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么 发现？ 例 3磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1， 这个基本单元通常被称为比特（bit） 。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小 于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域 是不是越小，磁盘的存储量越大？ 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 探究 3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？ 此时，是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？ （三）反思总结 1、导数在解决实际生活中的问题应用方向是什么？ 2、解决优化问题的方法是怎样的？ （四）当堂检测 练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？ 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才 能使所用材料最省？ 课后练习与提高 1、一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖 的方盒。 试把方盒的体积表示为的函数。 多大时，方盒的容积最大？ 2、某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 180 元时，房间会全部住满； 房间单价每增加 10 元，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天需花费 20 元 的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？ 1.4.1 生活中的优化问题举例 【教学目标】 1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问 题中的作用； 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 【教学重难点】 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标 教师：我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定 的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题： 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。 （三）合作探究、精讲点拨 （1）提出概念 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问 题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们 利用导数，解决一些生活中的优化问题 （2）引导探究 例 1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 探究 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？ 例 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 探究 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么 发现？ 例 3磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1， 这个基本单元通常被称为比特（bit） 。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小 于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域 是不是越小，磁盘的存储量越大？ 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 探究 3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？ 此时，是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？ 由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。老师及时点评指导， 最后归纳、总结，讲评。 （四）反馈测评 练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？ 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才 能使所用材料最省？ （五）课堂总结 导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主 要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润 及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数 关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个 过程中，导数是一个有力的工具 利用导数解决优化问题的基本思路： 【作业布置】 发导学案、布置预习。 解决数学模 型作答 用函数表示的数学问题优化问题 用导数解决数学问题优化问题的答案