2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.3解三角形专用题组理新人教B版.doc

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.3解三角形专用题组理新人教B版考点一正弦、余弦定理答案A由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B,即sin Bsin(A+C)=sin B,因为sin B0,所以sin B=,所以B=或,又因为ab,故B=,选A.19.(xx陕西,7,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,sin A=1,即A=.故选B.20.(xx福建,12,4分)若锐角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-240=49,故a=7,即BC=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.21.(xx浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.答案解析令BAM=,BAC=,故|CM|=|AM|sin(-),M为BC的中点,|BM|=|AM|sin(-).在AMB中,由正弦定理知:=,即=,sin =,cos =,=cos =sin cos -cos2,整理得1=2sin cos -cos2,解得tan =,故sin =.评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.22.(xx湖北,11,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=.答案解析由已知得a2+b2-c2=-ab,cos C=-,C=.评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.23.(xx重庆,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=.答案解析A,B,C为三角形内角且cos A=,cos B=,sin A=,sin B=.sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=.由正弦定理=,得c=b=3=.评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(xx北京,15,13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c=5.评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用16.(xx重庆,10,5分)已知ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1S2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案A设ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin 2A+sin 2B=-sin 2C+sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-cos(A+B)=4sin Asin Bsin C=sin Asin Bsin C=.则S=absin C=2R2sin Asin Bsin C=R21,2,R2,2,abc=8R3sin Asin Bsin C=R38,16 ,知C、D均不正确.bc(b+c)bca=R38,A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且168,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.17.(xx浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.18.(xx陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面积为absin C=.19.(xx四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.连结BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=.于是sin A=.连结AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(xx北京,15,13分)如图,在ABC中,B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在ADC中,因为cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285=49.所以AC=7.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.21.(xx陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,当且仅当a=c时等号成立.cos B的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.22.(xx安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识,属容易题.23.(xx浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,ABC的面积为S=acsin B=.评析本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.24.(xx四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-.(1)求cos A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-,得cos(A-B)+1cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.(2)由cos A=-,0Ab,则AB,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为|cos B=.评析本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.25.(xx安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由题设知0B0,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(xx江西,16,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A0,所以sin B-cos B=0,又cos B0,所以tan B=,又0B,所以B=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=,所以b2=3+.又0a1,于是有b21,即有b1.28.(xx课标全国,17,12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解析(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2cos 30=.故PA=.(2)设PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理得=,化简得cos =4sin .所以tan =,即tanPBA=.评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把PBC和PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.29.(xx江西,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求ABC的面积.解析(1)证明:由bsin-csin=a,应用正弦定理,得sin Bsin-sin Csin=sin A,sin B-sin Csin B+cos B=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,由于0B,C,从而B-C=.(2)B+C=-A=,因此B=,C=.由a=,A=,得b=2sin,c=2sin,所以ABC的面积S=bcsin A=sinsin=cossin=.评析本题主要考查解三角形的基本知识,运用正弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式进行求解,考查了推理运算能力及应用意识.