2019-2020年高二数学 解析几何中的范围问题教案 旧人教版.doc

2019-2020 年高二数学 解析几何中的范围问题教案 旧人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 解析几何中的范围问题 二. 教学重、难点： 1. 重点： 确定某个变量的范围，使得问题中给出的几何图形具有某种几何性质，或满足某种数量， 位置关系。 2. 难点： 建立含有参变量的函数关系式或不等式。 【典型例题】 例 1 双曲线焦点距为，直线过点（，0）和（0， ） ，且点（1，0）到直线的距离与点（，0 ） 到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围。 解：直线的的方程为 即 点（1，0 ）到直线的距离，点到直线的距离 由，得 即 于是得 即 得 由于，所以的取值范围是 例 2 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1 ，0） ，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M（）到直线 AP 的距离为 1。若直线 AP 的斜率为，且，求实数的取值范围。 解：由条件得直线 AP 的方程，即 因为点 M 到直线 AP 的距离为 1，所以 即 2 21kkm 解得或 所以的取值范围是 3,213,1 例 3 设双曲线 C：与直线：相交于两个不同的点 A，B。求双曲线 C 的离心率的取值范围。 解：由 C 与相交于两个不同的点，故知方程组 12yxa 有两个不同的实数解，消去 并整理得 02)1(2axa 由 解得且 双曲线的离心率 因为且 所以且，即离心率的取值范围为 例 4 设 A、B 是椭圆上的两点，点 N（1 ，3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与 椭圆交于 C、D 两点。确定的取值范围，并求直线 AB 的方程。 解：解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为，代入，整理得 0)()3(2)3( 22 kxkxk 设 A（） ，B（） ，则是方程 的两个不同的根 )()(422 且，由 N（1，3）是线段 AB 的中点，得 解得代入得，即的取值范围是（） 于是，直线 AB 的方程即 解法 2：设 A（） ，B（） ， 则有 +=0 依题意， ， N（1，3 ）是 AB 的中点 ， ，从而 又由 N（1，3 ）在椭圆内 的取值范围是（）直线 AB 的方程为 ，即 例 5 设点 P 到 M（） ，N（1，0）的距离之差为，到轴、轴距离之比为 2，求的取值范围。 解法一：设点 P 的坐标为（） ，依题设得 即 因此，点 P（） 、M（） 、N（1，0 ）三点不共线，得 因此，点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为的双曲线上，故 将式代入，并解得 解得 即的取值范围为 解法二：设点 P 的坐标为，依题设得 即 由， 得 myxyx2)1()1(22 由式可得 )()(422 所以， ，且 由式移项，两边平方整理得 22)1(mxyxm 将式代入，整理得 )51(2 ，且式右端大于 0 综上，得满得 例 6 直线：与双曲线 C：的右支交于不同的两点 A、B。求实数的取值范围。 分析：直线与双曲线右支有两个不同的交点，则不仅仅是的问题，还需要追加制约条件。 解： （1 ）将直线的方程代入双曲线 C 的方程后，整理得 依题意，直线与双曲线 C 的右支交于不同两点，故020)2(8)2(0kkk 解得 例 7 已知椭圆（） ，A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与轴交于 P（） 。证明： 。 解：设 A（） ，B （） P（）是中垂线上的点 PA=PB 则 20210 )()( yxyx 2210)(yx 解出，得 )(210 xy 又 A、B 在椭圆上 0)()(21221yaxb 代入得 例 8 如图 P 是抛物线 C：上一点，直线过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。若直线不过原 点且与轴交于点 S，与轴交于点 T，试求的取值范围。 解： 设 P（） ，Q（） ，M （） ，依题意， ， 设直线：，依题意， ，则 T（）分别过 P，Q 作轴，轴，垂足分别为、 ，则21ybOST 由 bkxy21 消去，得（1） 则 方法 1： 212)1(21bybybSQTP 因为可取一切不相等的正数 所以的取值范围是（2， ） 方法 2： 221)(bkyb 当时， 2)()(22 kk 当时， bb)()( 22 又由方程（1）有两个相异实根，得 0)2(4)(422 bkbk 于是，即 所以 的取值范围是（2， ） 【模拟试题】 （答题时间：40 分钟） 1. 设 P 是椭圆（）上一点，F 1，F 2 是其焦点，且，求椭圆离心率的最小值。 2. 已知直线与抛物线相交于 A、B 两点，求使的面积最大时的直线方程。 3. 已知：直线：和顶点为 A 的抛物线 C：有公共点，点 P（）关于直线的对称点为 Q，若 AQ 垂直于抛物线的对称轴，求的取值范围。 4. 已知：椭圆的一个顶点 A（0， ） ，是否存在斜率为（）的直线，使与已知椭圆交于两个 不同的点 M、 N，且使？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。 【试题答案】 1. 思路：由和 2212214cFPF，得到 =，进而构造关于的一元二次方程，在解有关焦点三角形的最值问题时常常运用这种方法。 解：由椭圆的定义得： 在中， 2，得 由、可知， 、是方程的两根 从而 ，即 所以离心率的最小值为 2. 思路：建立的面积关于变数的目标函数，求使目标函数取最大值时的值。 解：设的面积为 S，点 O 到 AB 的距离为，A（） ，B（）联立 ，得到 ， = 而，于是 bb2121 93)3( 当且仅当，即时等号成立 故的面积最大时的直线方程为 3. 解：联立直线与抛物线 C 方程， 整理得 由与 C 有公共点，得 解得，且 如图所示，抛物线顶点 A（） ，而 AQ 垂直于抛物线的对称轴，故可设 Q（） P 和 Q 关于直线对称 kay120 消去，得 由，且，得 解得，或 故的取值范围是 4. 解：由可得 A 与 MN 中点 T 的连线 ATMN，出现了弦的中点且可用斜率的乘积为，所 以可用点差法。 设 M（） 、N（） ，MN 中点 T（） 则 210210,yx 由 3,32y得 0)()( 21212121 yyxx )(32121yk 00yxkyxAT 由 T（）在已知椭圆内，得，解得 故存在满足题意的实数