2019-2020年高三数学向量应用专题教案人教版.doc

2019-2020年高三数学向量应用专题教案人教版在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。高中新教材对解决这类问题引入了向量这个强大的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。同时也进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法。本文拟就向量在立体几何中的应用作初步的总结和探讨。专题一 空间各种距离的计算一、空间两点间的距离方法：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离 d=| B C D A 例1：已知二面角-l-的大小是120o,A、Cl,B,且ABl,CDl,AB=CD=a,AC=2a。求BD的长。解： CDl,ABl,-l-=120o=120o=60o|2=a2+4a2+a2+0+0+2aacos60o=7a2|=例2：正方体正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别是AA1、D1C1的中点。 Z D1 N C1 A1 B1 M D C y A B x 求M、N两点间的距离。解：建立空间直角坐标系D-xyz 则M（1，0，），N（0，1） 故M、N两点间的距离为二、两条异面直线间的距离bnABd方法：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点Aa,Bb则异面直线a、b间的距离 a 即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。例3：如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。1) 求异面直线A1C1与B1C的距离。2）求异面直线A1A1与BD1的距离解：1）建立空间直角坐标系D-xyz（如图） z D1 C1 A1 B1 D C y A B x则A1（1,0,1），C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0)设则：得： 取又 d=故异面直线。2）易得： 设 则： 取 又 故异面直线A1A1与BD1的距离为例4：如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M、N分别是AB、CC1的中点。求直线MN与D1C之间的距离。解：建立空间直角坐标系D-xyz则：D1（0，0，2），C（0，4，0） Z D1 C1 A1 B1 N D C y A M Bx M（3，2，0），N（0，4，1）设则：取 故异面直线MN与D1C的距离为例5：已知正三棱锥S-ABC中，底面边长为6，高为3。求SA与BC部的距离。分析：设底面中心为O，以OS、AO所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系则：BCx轴 工 z S C A O y B x 从而易求得向量的坐标 再求的公共法向量 最后求上的射影长解：（略）三、点（或线）到平面的距离方法：1）设。则PO到平面的距离P P即：点PO到平面的距离等于。2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。例6：正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C、D1A1、AB的中点。求点A到平面EFG的距离。解：建立空间直角坐标系D-xyz D1 z F C1 A1 B1 E D C y A G B x 则：E（0，2，1），F（1，0，2）G（2，1，0） 则： 故点A到平面EFG的距离是例7：如图正三棱柱，棱都相等，D是BC的中点.若AB=2。1）求证A1B平面ADC1。2）求A1B与截面ADC1的距离 解：1) 建立空间直角坐标系A-xyz 则：A（0，0，0），B（，1，0） C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2） D z y 设平面ADC1的法向量为 x 从而有： 取 又 A1B平面ADC1 A1B平面ADC1 2)由1）知，A1B平面ADC1，所以A1B与截面ADC1的距离等于A1点到截面ADC1的距离 故A1B与截面ADC1的距离等于。注：在1）的证明中用到了用向量证明“线面垂直”的方法，请参见专题三。专题二 空间角度的计算一、两条异面直线所成的角方法：设l1与l2两条异面直线，l1 ， l2，则l1与l2所成的角 =或= - （0）其中：cos= 或 cos= （0）例1：已知二面角-l-的大小是120o,A、Cl,B,且ABl,CDl,AB=CD=a,AC=2a。求BD与AC所成的角。解： CDl,ABl,-l-=120o B C D A =120o=60o = =0+4a2+0=4a2 =a2+4a2+a2+0+0+2aacos60o=7a2 |=cos= 故BD与AC所成的角为arccos例2：如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上，点在上，若 求MN与BE所成角的余弦值。 C D M B E N A F 解1：由条件知：BA、BC、BE三线两两垂直 成以可建直角坐标系如图所示 CM=1 同理： 又 故MN与BE所成角的余弦值为注：求点M的坐标用到了空间定比分点坐标公式： nm l 二、直线与平面所成的角方法：设平面的法向量为，向量直线l,则直线l与平面所成的角为： 当、时，的值分别为0、此时分别对应于l，l例3：已知二面角-l-的大小是120o,A、Cl,B,且ABl,CDl,AB=CD=a,AC=2a。求BD与平面所成的角。 B C F D A E 解：过点A在平面内作AECD且AE=CD， 则BAE=120o 且AC平面ABE连ED、BE,作AFAE与BE交于点F。AC平面ABE平面ABEAF 可取为的法向量。在等腰ABE中，BAE=120o，AEB=60o 又在RtFAE中，AE=CD=a ， =cos30o+0+0= 易得：(参见专题一中例1)cos= BD与平面所成的角为例4：正三棱锥S-ABC的底面边长为2，高为4，D为SC的中点。求BD与底面ABC所成的角。 S D C A O y B x解：设底面ABC的中心为O 以O为坐标原点，AO所在直线为y轴建立直角坐标系 显然，BCx轴 易得： B C S D 取平面ABC的法向量 ， cos 故BD与底面ABC所成的角为三、二面角方法：设相交平面与的法向量分别为，则与所成的角的大小为 或 如图（1）设A、B是二面角-l-的棱l上的两点， AC，BD。如图（2）则与所成的角的大小为 C B D A （2） （1）例5：如图PA平面ABC，ACBC，PA=AC=1，BC= 求二面角A-PB-C的大小。 Z P A C y B x解：以A为原点，AP所在直线为x轴， AC所在直线为y轴建立坐标系 则A（0，0，0）B（，1，0） C（0，1，0） P（0，0，1） 设平面PBC的法向量为 则 又 同理可取平面PAB的法向量 依题意得二面角A-PB-C的大小为解2：取PB的中点D，连结CD， PC=CB= Z P E D A C y B x CDPB作AEPB于点E，则二面角 A-PB-C= PD=1, DE=PD-PE= 又AE=，CD=1，AC=1 由 得 从而： cos= 故二面角A-PB-C的大小为arccos.例6:翰林汇将一副三角板拼接,公共边为BC,且两三角板所在平面互相垂直,若 A=CBD=90o,BDC=60o,AB=AC.求： (1)求二面角ACDB的大小; (2)直线AD和平面BCD所成的角; (3)异面直线AD和BC所成的角; (4)异面直线AB和CD所成的角. y x解：平面BCD平面ABC，DBBC DB平面ABC。以A为原点，AB、AC所在x、y轴，则DBz轴设AB=AC=1 则BC=，BD=则：A（0，0，0）B（1,0,0）C(0,1,0) D(1,0, ) 1) 设平面ACD的法向量为 同理可得平面BCD的法向量为 D1 z C1A1 B1 D C P y A Bx 二面角ACDB的大小为arccos 2),3),4)请读者自行解答。例2：在正方体A1B1C1D1-ABCD中，P是棱AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小解：建立直角坐标系D-xyz 设正方体棱长为1则A（1，0，0）B（1，1，0） P（，0，0），D1（0，0，1） 设平面PBD1的法向量为（x,y,z） 取法向量为（2，-1，1） 同理可得平面ABD1的法向量为（1，0，1） cos 二面角A-BD1-P的大小为30o专题三 综合应用知识要点：1）设直线l1、l2r 方向向量分别为，则： l1l2 ； l1l2 2）设直线l的方向向量、平面的法向时分别为，则： l； l且l 3）设平面、的法向量分别为，则： ； 例1：如图正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，A1C1的中点为D.()求证BC1平面AB1D；()求二面角A1B1DA的大小；()求点B到平面AB1D的距离.解：以A为原点，AA1为z轴，AC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示。则：A（0，0，0）B（，0） z C（0，2，0）A1（0，0，） y B1（，）C1（0，2，） 从而可得D（0，1，）()设平面AB1D的法向量为 x 又 又BC1平面AB1D 故BC1平面AB1D()由()知 是平面AB1D的法向量 又平面A1B1D的法向量为（0，0，1）（为什么？） 故二面角A1B1DA的大小为arccos() ,平面AB1D的法向量为 点B到平面AB1D的距离 例2：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1中点.（）求证：直线AE平面A1D1E；（）求二面角EAD1A1的大小；解：（）以D为原点，DD1所在直线为z轴，DC所在直线为y轴，DA所在直线为x轴，建立坐标系则：D（0，0，0），A（1，0，0）B（1，1，0）A1（1，0，2）D1（0，0，2）E（1，1，1） 设平面A1D1E的法向量为 AE平面A1D1E（）易得平面AD1A1的一个法向量为（0，1，0） 设平面A1D1E的法向量为 则： 由题意知，二面角EAD1A1的大小为arccos 例3:如图,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为,A1C1的中点为D.（）求证BC1平面AB1D；（）求二面角A1B1DA的大小； z D A1 C1 B1 A C y B X （）求点B到平面的AB1D的距离解：（）以A为原点，AC所在直线为x轴， AA1所在直线为z轴，建立坐标系如图所示则A（0，0，0）B（，1，0）C（0，2，0）A1（0，0，）D（0，1，）B1（，1，）C1（0，2，）设平面AB1D的法向量为BC平面AB1D（II）由（I）知平面AB1D的一个法向量为 又易得平面A1B1D的一个法向量由题意得二面角A1B1DA的大小为180o-arccos(-)=180o-120o=60o (III)平面AB1D的一个法向量为， 又 点B到平面的AB1D的距离 例4：已知四棱锥PABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E、F分别为AB、PD、PC的中点，PA=a，二面角PCDB为45.（1）求证：AF平面PCE；（2）求证：平面PCE平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离.解：（1）底面是正方形，ADCDB xP z 又PA底面AC，PDCD（三垂线定理）PDA=45AD=PA=aF y 建立直角坐标系（如图所示） 则易得：A（0，0，0）B（a，0，0）C C（a，a，0）D(0，a，0)P（0，0，a）D 又E、F分别是AB、PD的中点EA 设平面PCE的法向量为 则由 又AF平面PCE，故AF平面PCD（2）易得 得法向量为，又由（1）知： 从而平面PCE平面PCD。 （3） 求点D到平面PCE的距离 例5：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90o。侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。（xx年（理科）高考题）（I）求A1B与平面ABD所成角的大小（角反三角函数值表示）；（II）求点A1到平面AED的距离。解：（I）建立空间直角坐标系，如图报示。 C1 z A1 B1 D E C Gx A B y设AC=CB=a则易得：高ABD的重心为G，则G的坐标为：又E是A1B的中点，E的坐标为：EG平面ABD，A1B与平面ABD所成角为，则 为所求。解2：设AC=BC=a,则重心G的坐标为：又E是A1B的中点，E的坐标为：有：则设A1B与平面ABD所成角为，则 为所求。（II）由（I）可得故点A1到平面AED的距离为。练习：1、如图，正四面体的棱长为2，M、N分别在棱SA、BC上且sABMN1）线段MN的长；2）求MN与平面ABC所成的角；*3）求异面直线MN与AC的距离4）求平面MNC与平面ABC所成的二面角的大小。2、已知二面角-l-的大小是120o,A、Cl,B,且ABl,CDl,AB=CD=a,AC=2a。 B C D A 求BD与AC间的距离。C3、如图，正三棱柱的九条棱均相等，D是BC上一点，.（1）求证：截面；（2）求二面角的大小（用反正弦表示）；（3）若AB2，求A1B与截面ADC1的距离.4、如图，已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC中点.（I） 求证：平面EDB平面PBC；（III）求二面角DPBC的正切值. 5、在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，且， ，求与平面所成角的大小。s6、已知正三棱锥S-ABC的边长为a，M、N分别为SA、AB的中点。C求二面角M-NC-A的正弦值.M NBA