2019-2020年高三数学二轮复习高考大题分层练4三角数列概率统计立体几何(D组)理新人教版.doc

2019-2020年高三数学二轮复习高考大题分层练4三角数列概率统计立体几何(D组)理新人教版1.设ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.(1)求的值.(2)若cosB=,且ABC的周长为14,求b的值.【解析】(1)因为b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.由正弦定理得,=.即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,化简可得sin(A+B)=3sin(B+C).又A+B+C=,所以sinC=3sinA,因此=.(2)由=得c=3a.由余弦定理及cosB=得b2=a2+c2-2accosB=a2+9a2-6a2=9a2.所以b=3a.又a+b+c=14.从而a=2,因此b=6.2.设Sn是正数数列an的前n项和,且Sn=+an-.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在等比数列bn,使a1b1+a2b2+anbn=(2n-1)2n+1+2对一切正整数n都成立?并证明你的结论.【解析】(1)由Sn=+an-得Sn+1=+an+1-,两式相减并整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,又由于an+1+an0,则an+1=an+2,故数列an是等差数列.因为a1=S1=+a1-0,所以a1=3,故an=2n+1.(2)当n=1,2时,a1b1=22(21-1)+2=6,a1b1+a2b2=23(22-1)+2=26,可解得b1=2,b2=4,猜想bn=2n,使a1b1+a2b2+anbn=2n+1(2n-1)+2成立.证明:32+522+723+(2n+1)2n=2n+1(2n-1)+2恒成立.令S=32+522+723+(2n+1)2n,2S=322+523+724+(2n+1)2n+1,-得:S=(2n+1)2n+1-22n+1+2=(2n-1)2n+1+2,故存在等比数列bn符合题意.3.学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)，规定若满意度不低于98分，评价该教师为“优秀”.(1)求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率.(2)以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求的分布列及数学期望.【解析】(1)设Ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则P(A)=P(A0)+P(A1)=+=.(2)由已知得的可能取值为0，1，2，3，P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=.故的分布列为：0123PE()=0+1+2+3=0.9.4.如图，矩形ABCD中，=(1)，将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C -AB-E为直二面角.(1)求证：平面ACE平面BCE.(2)设F是BE的中点，二面角E-AC-F的平面角的大小为，当2，3时，求cos的取值范围.【解析】(1)因为二面角C-AB-E为直二面角，ABBC，所以BC平面ABE，所以BCAE，因为AECE，BCCE=C，所以AE平面BCE，又因为AE平面ACE，所以平面ACE平面BCE.(2)方法一：如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB=，A(0，1，0)，B，C，E，F，则=(0，1，0)，=，设平面EAC的一个法向量为m=(x，y，z)，则取x=1，则m=，同理平面FAC的一个法向量为n=，所以cos=，因为2，3，所以cos.方法二：过F作FGCE于G，过G作GHAC于H，连接FH，则FGAC，则二面角E-AC-F的平面角为FHG，因为AF=CF=，所以H为AC的中点，所以FH=，由SCEF=SBCE，得FG=，所以GH=，所以cos=，因为2，3，所以cos.