2019-2020年高二下学期期中数学试卷（文科） 含解析.doc

2019-2020年高二下学期期中数学试卷（文科） 含解析一、选择题：（每小题3分，共36分）1已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A2+iB2iC12iD1+2i2用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少两个偶数3下面的几种推理过程是演绎推理的是（）A两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D在数列an中，a1=1，an+1=（n=1，2，3，），由此归纳出an的通项公式4已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，bR），则a等于（）A2B2C1D5已知集合，N=y|y=3x2+1，xR，则MN等于（）ABx|x1Cx|x1Dx|x1或x06设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca7如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD8给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D49为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算k2=8.01，附表如下：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参照附表，得到的正确的结论是（）A有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”B有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”10设函数f（x），g（x）在a，b上均可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）Af（x）g（x）Bf（x）g（x）Cf（x）+g（a）g（x）+f（a）Df（x）+g（b）g（x）+f（b）11设集合S=x|x2|3，T=x|axa+8，ST=R，则a的取值范围是（）A3a1B3a1Ca3或a1Da3或a112设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=14已知=2， =3， =4，若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=15如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为16给出下列命题：命题“xR，x2x0”的否命题是“xR，x2x0”命题：“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”的逆否命题是真命题命题“若a=1，则函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是真命题命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件其中是真命题的有（把你认为正确的命题序号都填上）17如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为18已知数列an中，an=，记f（n）=（1a1）（1a2）（1an），试计算f（1），f（2），f（3）的值，推测f（n）的表达式为f（n）=三、解答题：（共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19已知x=1是函数f（x）=mx33（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m0（）求m与n的关系表达式；（）求f（x）的单调区间；（）当x1，1时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围20函数f（x）=ax2（2a+1）x+lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）设g（x）=exx1，当a0时，若对任意x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（x2+ax3）ex（其中a实数，e是自然对数的底数）（）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；（）求f（x）在区间t，t+2（t0）上的最小值；（） 若存在x1，x2e1，e（x1x2），使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围xx天津市新华中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共36分）1已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A2+iB2iC12iD1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z，则可求【解答】解：z=，故选：B2用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少两个偶数【考点】反证法【分析】用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求【解答】解：结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数反设的内容是假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数故选：D3下面的几种推理过程是演绎推理的是（）A两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D在数列an中，a1=1，an+1=（n=1，2，3，），由此归纳出an的通项公式【考点】演绎推理的基本方法【分析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项【解答】解：A选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“A与B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“A+B=180”B选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；C选项：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；D选项中，在数列an中，a1=1，an+1=（n=1，2，3，），由此归纳出an的通项公式，是归纳推理综上得，A选项正确故选A4已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，bR），则a等于（）A2B2C1D【考点】复数相等的充要条件【分析】根据复数相等的条件进行化简即可【解答】解：由=b（1+i）得a+i（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi即a+i=2bi则a=0且=2b，解得a=，b=，故选：D5已知集合，N=y|y=3x2+1，xR，则MN等于（）ABx|x1Cx|x1Dx|x1或x0【考点】其他不等式的解法；交集及其运算【分析】求出集合M，N的元素，利用集合的基本运算求交集【解答】解：由得x1或x0，即M=x|x1或x0，N=y|y=3x2+1，xR=y|y1，MN=x|x1或x0y|y1=x|x1，故选：C6设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca【考点】不等式比较大小【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出【解答】解： =，bc=4，即ca综上可得：bca故选：B7如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】解：圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD对应劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD，FBD=BAFAD是BAC的平分线，BAF=DACDBC=FBD即BD平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，FB2=FDFA即结论成立由，得AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故答案为D8给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D4【考点】选择结构【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x2，2x5，x5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案【解答】解：当x2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2x5时，由2x3=x得：x=3，满足条件；当x5时，由=x得：x=1，不满足条件，故这样的x值有3个故选C9为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算k2=8.01，附表如下：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参照附表，得到的正确的结论是（）A有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”B有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”【考点】独立性检验【分析】由题目所给数据，结合独立检验的规律可作出判断【解答】解：k2=8.016.635，在犯错误概率不超过0.1的前提下认为“喜欢乡村音乐与性别有关”，即有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”故选：A10设函数f（x），g（x）在a，b上均可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）Af（x）g（x）Bf（x）g（x）Cf（x）+g（a）g（x）+f（a）Df（x）+g（b）g（x）+f（b）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）g（x），研究F（x）在给定的区间a，b上的单调性，F（x）在给定的区间a，b上是增函数从而F（x）F（a），整理后得到答案【解答】解：设F（x）=f（x）g（x），在a，b上f（x）g（x），F（x）=f（x）g（x）0，F（x）在给定的区间a，b上是减函数当xa时，F（x）F（a），即f（x）g（x）f（a）g（a）即f（x）+g（a）g（x）+f（a）故选C11设集合S=x|x2|3，T=x|axa+8，ST=R，则a的取值范围是（）A3a1B3a1Ca3或a1Da3或a1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据题意，易得S=x|x1或x5，又有ST=R，可得不等式组，解可得答案【解答】解：根据题意，S=x|x2|3=x|x1或x5，又有ST=R，所以，故选A12设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立0ab，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立a0b，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=2【考点】复数的基本概念【分析】根据纯虚数的定义可得m21=0，m210，由此解得实数m的值【解答】解：复数z=（m2+m2）+（m1）i为纯虚数，m2+m2=0，m210，解得m=2，故答案为：214已知=2， =3， =4，若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=41【考点】类比推理【分析】观察所给的等式，等号右边是，第n个应该是，左边的式子，写出结果【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，照此规律，第5个等式中：a=6，t=a21=35a+t=41故答案为：4115如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为【考点】与圆有关的比例线段【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD求解【解答】解：由相交弦定理得到AFFB=EFFC，即31=FC，FC=2，在ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD，即x4x=（）2，x=故答案为：16给出下列命题：命题“xR，x2x0”的否命题是“xR，x2x0”命题：“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”的逆否命题是真命题命题“若a=1，则函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是真命题命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件其中是真命题的有（把你认为正确的命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断，根据逆否命题的定义进行判断，根据逆命题的定义结合函数零点的定义进行判断，根据充分条件和必要条件的定义以及复合命题的关系进行判断，根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断【解答】解：命题“xR，x2x0”的否命题是“xR，x2x0”，故错误，命题：“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”的逆否命题是若x=2且y=1时，x+y=3，为真命题，故正确，命题“若a=1，则函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是若函数f（x）=ax2+2x1只有一个零点，则a=1，为假命题，当a=0时，由f（x）=2x1=0，得x=，此时函数f（x）也是一个零点，故错误，命题“pq为真”是命题，则p，q至少有一个为真，若“pq为真”，则p，q同时为真，则命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件，故错误，若p是q的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件正确，故正确，故真命题是，故答案为：17如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为【考点】与圆有关的比例线段；余弦定理【分析】连结圆心O与A，说明OAAE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出BAE的余弦值，然后求解BD即可【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E所以OAAE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，ABDC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EBEC，所以AE=6，在ABE中，BE2=AE2+AB22ABAEcos，即16=25+3660cos，所以cos=，AB=AD=5，所以BD=2ABcos=故答案为：18已知数列an中，an=，记f（n）=（1a1）（1a2）（1an），试计算f（1），f（2），f（3）的值，推测f（n）的表达式为f（n）=【考点】归纳推理【分析】根据f（n）=（1a1）（1a2）（1an），依次求得f（1），f（2），f（3）的值，将结果转化为同一的结构形式，进而推广到一般得出f（n）的值【解答】解：f（n）=（1a1）（1a2）（1an），an=，f（1）=，f（2）=，f（3）=，根据其结构特点可得：f（n）=故答案为：三、解答题：（共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19已知x=1是函数f（x）=mx33（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m0（）求m与n的关系表达式；（）求f（x）的单调区间；（）当x1，1时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出f（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f（1）=0求出m与n的关系式；（）令f（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f（x）3m代入得到不等式即3m（x1）x（1+）3m，又因为m0，分x=1和x1，当x1时g（t）=t，求出g（t）的最小值要使（x1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围【解答】解：（）f（x）=3mx26（m+1）x+n因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f（1）=0，即3m6（m+1）+n=0所以n=3m+6（）由（）知f（x）=3mx26（m+1）x+3m+6=3m（x1）x（1+）当m0时，有11+，当x变化时f（x）与f（x）的变化如下表：x（，1+）1+（1+，1）1（1，+）f（x）00000f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m0时，f（x）在（，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+）单调递减（）由已知，得f（x）3m，即3m（x1）x（1+）3m，m0（x1）x1（1+）1（*）10x=1时（*）式化为01怛成立m020x1时x1，1，2x10（*）式化为（x1）令t=x1，则t2，0），记g（t）=t，则g（t）在区间2，0）是单调增函数g（t）min=g（2）=2=由（*）式恒成立，必有m，又m0m0综上10、20知m020函数f（x）=ax2（2a+1）x+lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）设g（x）=exx1，当a0时，若对任意x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）当a=1时，函数f（x）=x23x+lnx，f（x）=令f（x）=0得：x1=，x2=1列出表格即可得出函数的单调性极值；（2）对于任意的x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，则有f（x）maxg（x）min利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=x23x+lnx，f（x）=令f（x）=0得：x1=，x2=1当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，f（x）的单调递增区间为：（0，），（1，+）；单调递减区间为：（，1）当x=时，f（x）有极大值，且f（x）极大值=ln2；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=2（2）由g（x）=exx1，则g（x）=ex1，令g（x）0，解得x0；令g（x）0，解得x0g（x）在（，0）是减函数，在（0，+）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0对于任意的x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，则有f（x1）g（0）即可即不等式f（x）0对于任意的x（0，+）恒成立f（x）=当a=0时，f（x）=，令f（x）0，解得0x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，f（x）最大值=f（1）=10，a=0符合题意当a0时，令f（x）0，解得0x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，f（x）最大值=f（1）=a10，得1a0，1a0符合题意当a0时，令f（x）=0得：x1=，x2=1a时，0x11，令f（x）0，解得0x或x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（1，+）是增函数，而当x+时，f（x）+，这与对于任意的x（0，+）时f（x）0矛盾同理0a时也不成立综上所述：a的取值范围为1，021已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（x2+ax3）ex（其中a实数，e是自然对数的底数）（）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；（）求f（x）在区间t，t+2（t0）上的最小值；（） 若存在x1，x2e1，e（x1x2），使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）写出当a=5时g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（）求出f（x）的导数，求出极值点，讨论当t时，当0t时，函数f（x）的单调性，即可得到最小值；（） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=x2+ax3，得到a=x+2lnx+，令h（x）x+2lnx+，求出导数，列表求出极值，求出端点的函数值，即可得到所求范围【解答】解：（）当a=5时，g（x）=（x2+5x3）ex，g（x）=（x2+3x+2）ex，故切线的斜率为g（1）=4e，且g（1）=e，所以切线方程为：ye=4e（x1），即4exy3e=0（）f（x）=lnx+1，令f（x）=0，得x=，当t时，在区间（t，t+2）上，f（x）0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（t）=tlnt，当0t时，在区间（t，）上f（x）0，f（x）为减函数，在区间（，e）上f（x）0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（）=；（） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=x2+ax3a=x+2lnx+，令h（x）x+2lnx+，h（x）=1+=x（，1）1（1，e）h（x）0+h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增h（）=+3e2，h（1）=4，h（e）=+e+2，h（e）h（）=42e+0则实数a的取值范围为（4，e+2+xx1月15日