2019-2020年高二数学12月月考试题理.doc

2019-2020年高二数学12月月考试题理注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、 选择题1. 已知抛物线方程为 ，直线 的方程为 ，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为 ，P到直线 的距离为 ，则 的最小( ) A B C D 2.已知圆 的圆心为抛物线 的焦点，直线 与圆 相切，则该圆的方程为（） A B C D 3.已知抛物线 的准线过椭圆 的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点， 的面积为 ，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 4.设双曲线 1( a 0， b 0)的一条渐近线与抛物线 y x 2 1只有一个公共点，则双曲线的离心率为() A B5 C D 5.已知F 1 、F 2 是双曲线 （a0，b0）的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ，若边MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A4+ B +1 C 1 D 6.圆心在 上，半径为3的圆的标准方程为（） A B C D 7.椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上两点， ， ，则椭圆 的离心率为（ ） A B C D 8. 已知F为双曲线C： 的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为（ ） A11 B22 C33 D449. 已知椭圆： ，左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于A，B两点，若 的最大值为5，则 的值是 ( ) A1 B C D 10.长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB AA 1 2， AD 1， E 为 CC 1 的中点，则异面直线 BC 1 与 AE 所成角的余弦值为 () A B C D 11.设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若 ，则 为（ ） A B C D 12. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等， E 是 BC 的中点，那么（） A B C D 与 不能比较大小 二、 填空题 13. 设向量 a , b , c 满足 a + b + c =0 ( a - b ) c , a b ,若 a =1,则 a 2 + b 2 + c 2 的值是_. 14. 已知 i 、 j 、 k 是两两垂直的单位向量， a =2 i - j + k , b = i + j -3 k ,则 a b 等于_. 15.如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 和 N 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为_ 16.已知 、 分别为双曲线 : 的左、右焦点，点 ，点 的坐标为(2，0)， 为 的平分线则 . 17. 若一个二面角的两个面的法向量分别为 m =(0,0,3), n =(8,9,2),则这个二面角的余弦值为_. 三、 解答题 18. 已知动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的距离相等，点C在直线 上。 （1）求动点 的轨迹方程。 （2）设过定点 ，且法向量 的直线与（1）中的轨迹相交于 两点且点 在 轴的上方。判断 能否为钝角并说明理由。进一步研究 为钝角时点 纵坐标的取值范围。 19.已知椭圆方程为 ，射线 （x0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M） （）求证直线AB的斜率为定值； （）求 面积的最大值 20.已知双曲线 ， 、 是双曲线的左右顶点， 是双曲线上除两顶点外的一点，直线 与直线 的斜率之积是 ， 求双曲线的离心率； 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 ，求双曲线的方程. 21. 正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面边长为 a ，侧棱长为 a ，求 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角. 22. 若 PA 平面 ABC , AC BC , PA = AC =1, BC = ,求二面角 APBC 的余弦值. 答案一、选择题1、 D2、B 3、C 4、D 5、B 6、B 7、D 8、 D9、 D10、B 11、A 12、C 二、填空题13、4 14、-2 15、 16、 6 17、或- 三、解答题18、 解（1）动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的距离相等，所以 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，轨迹方程为 （2）方法一：由题意，直线 的方程为 故A、B两点的坐标满足方程组 得 ， 设 ，则 ， 由 ，所以 不可能为钝角。若 为钝角时， , 得 若 为钝角时，点C纵坐标的取值范围是 注：忽略 扣1分 方法二：由题意，直线 的方程为 （5分） 故A、B两点的坐标满足方程组 得 ， 设 ，则 ， 由 ，所以 不可能为钝角。过 垂直于直线 的直线方程为 令 得 为钝角时，点C纵坐标的取值范围是 注：忽略 扣1分 19、 （）斜率k存在，不妨设k0，求出M（ ，2）直线MA方程为 ， 分别与椭圆方程联立，可解出 ， 同理得，直线MB方程为 ，为定值. （）设直线AB方程为 ，与 联立，消去y得 由 0得一4m4，且m0， 点M到AB的距离为 设AMB的面积为S 当 时，得 20、 （1） ；（2） 21、 解法一： 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， B （0, a ,0）, A 1 (0,0, a ), C 1 (- , , a )，取 A 1 B 1 的中点 M ，则 M （0, , a ），连结 AM 、 MC 1 ，有 =(0, a ,0), =(0,0, a ). 由于 MC 1 面 ABB 1 A 1 . C 1 AM 是 AC 1 与侧面 A 1 B 所成的角. 而 =30，即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为30. 解法二： （法向量法）（接方法一） =（0，0， a ）. 设侧面 A 1 B 的法向量 n =(, x , y ), n =0且 n =0. ax =0，且 ay =0. x = y =0.故 n =(,0,0). |cos , n |= . =30,即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为30. 绿色通道： 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算.22、 解法一 : 如图所示,取 PB 的中点 D ,连结 CD . PC = BC = , CD PB . 作 AE PB 于E,那么二面角 APBC 的大小就等于异面直线 DC 与 EA 所成的角 的大小. PD =1, PE = , DE = PD - PE = . 又 AE = CD =1, AC =1, cos(- ), 即1= +1-2 1cos , 解得cos = . 故二面角 APBC 的余弦值为 . 解法二 : 由解法一可知,向量 的夹角的大小就是二面角 APBC 的大小,如上图,建立空间直角坐标系 C xyz ,则 A (1,0,0), B (0, ,0),C(0,0,0), P (1,0,1), D 为 PB 的中点, D ( ). ,即 E 分 的比为 . E ( ), 故二面角A P BC的余弦值为 . 解法三 : 如图所示建立空间直角坐标系,则 A (0,0,0), B ( ,1,0), C (0,1,0), P (0,0,1), =(0,0,1), =( ,1,0), =(2,0,0), =(0,-1,1), 设平面 PAB 的法向量为 m =( x , y , z ),则 令 x =1,则 m =(1,- ,0). 设平面 PBC 的法向量为 n =( x , y , z ),则 令 y =-1,则 n =(0,-1,-1), cos m , n = 二面角 APBC 的余弦值为 . 绿色通道： (1)求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两向量的夹角,但应注意两向量的始点应在二面角的棱上. (2)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法解较为简捷、明快.用法向量求二面角的大小时,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们完全可以根据图形观察得到结论,这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.