2019-2020年高中数学 6.1不等式的性质（第三课时） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高中数学 6.1不等式的性质（第三课时） 大纲人教版必修课 题 6.1.3 不等式的性质(三)教学目标(一)教学知识点不等式的性质定理4及其推论1、推论2、定理5及其证明的方法.(二)能力训练要求1.证明并掌握定理4及其推论1、推论2.2.会用反证法证明定理5，并熟练运用.3.进一步巩固不等式的性质，并能用它们作为不等式证明或推理的依据.(三)德育渗透目标进一步巩固，熟练掌握不等式的性质，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发创新思维，加强实践能力的培养，提高学生的辩证唯物主义思想.教学重点不等式的基本性质的运用.用不等式的基本性质来推理判断和证明其他不等式.教学难点不等式基本性质中的条件的运用及其对应用问题中字母的分类讨论.教学方法启发式教学法教具准备幻灯片一张记作6.1.3 A不等式的基本性质(上一节课)：1.反对称性 abba；2.传递性 ab，bcac；3.可加性 abacbc；4.加法法则 ab，cdacbd.教学过程.课题导入打出幻灯片6.1.3 A，使学生复习，巩固上一节课的内容.师请同学们回顾一下，我们上一节课学习了不等式的哪些基本性质?生上一节课我们学习了不等式性质中的三个定理和一个推论，它们分别是：定理1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.定理2 如果ab，且bc，那么ac.定理3 如果ab，那么acbc.推论 如果ab，且cd，那么acbd.通过学生回答后，教师演示幻灯片6.1.3 A，使学生对上一节所学内容有一个全面的概括，为本节课学习新的内容打下基础.师请同学们思考下面问题：若52，则53与23谁大呢?若52，则5（3）与2（3）又如何?生若52，则53大于23；若52，则5（3）小于2（3）.师可见，一个不等式两边同时乘以一个不为零的数，数的符号不同，所得结果也就不同.由此，我们有下面的定理.讲授新课定理4 如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc.师我们观察此题，虽然是不等式问题，实际上是以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，并直接运用实数运算的符号法则，通过作差，比较ac与bc的大小.请同学们试着完成定理4的证明.生acbc（ab）c.ab ab0根据“同号相乘得正，异号相乘得负”，得当c0时，（ab）c0，即acbc.当c0时，(ab）c0，即acbc.故如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc.师生共析此证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的.注意定理4中对c的讨论，因为c的符号不同，结论也不同，但是，在定理4中，a，b可以是全体实数，也可以是式子，不要在强调c的符号时，限制了a，b的取值范围.推论1 如果ab0，且cd0，那么acbd.师请同学们仿照定理3的推论证明定理4的推论1.生ab0，c0acbc 又cd0，b0bcbd 由可知，acbd.师生共析很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到：推论2 如果ab0，那么anbn（nN，且n1）.定理5 如果ab0，那么（nN，且n1）师请同学们回顾我们用“反证法”证明题的一般步骤是什么?生“反证法”证题的一般步骤是：第一步：假设命题的结论不成立，而命题结论的反面成立；第二步：根据已知条件，结合所学知识，推出与已知条件(或已知的真命题)相矛盾的结论，从而断定假设是错误的.第三步：肯定原命题的结论正确.师请同学们考虑：“ab”的反面是什么?“ab”的反面呢?生“ab”的反面是“ab”.“ab”的反面是“ab”.师针对定理5中结论“”，它的反面有两种情况：或.请同学们完成定理5的证明过程(当学生遇到困难时，教师作适当的指导).生假定不大于，则有：或.由定理1和定理4的推论2可知：当时，又ab0，nN，且n10 即ba当时，显然有ab.这些都同已知条件ab0相矛盾.故如果ab0，那么（nN，且n1）.师生共析同学们观察定理4的推论2和定理5，把两者结合起来，很容易把这一性质推广到正有理指数幂的情形，即如果ab0，S为正有理数，那么aSbS.例4(P)已知ab0，c0，求证.师我们学习了不等式的性质，要掌握不等式每条性质及证明，每条性质的条件.理解不等式的性质，是不等式变形的依据.分析：思路一：证明不等式问题，一般利用不等式的性质做为理论依据，通过推理论证求得结果.(引导学生运用不等式的性质证明例4)生ab0 ab0在ab的两边同时乘以正数，得又c0，由定理4，得：故ab0，c0时，有.思路二：证明不等式问题，常常转化为比较两实数的大小问题，即利用作差法，结合已知条件，通过变形(通分、有理化、因式分解等)比较的大小，就可得证.(请同学们自己完成证明过程)生.ab0，c0ab0，ba0，c（ba）0故.课堂练习1.判断下列各命题的真假，并说明理由：(1)如果acbc，那么ab；(2)如果ac2bc2，那么ab.分析：以不等式性质定理为理论依据，注意不等式性质定理的应用条件，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真.答案：(1)假.因c的正负不确定，故不能两边同除以c后得与原不等式同向的不等式.(2)真.因为由ac2bc2c20c20，不等式两边同除以一个正数，与原不等式同向.2.回答下列问题：(1)如果ab，cd，是否可以推出acbd?举例说明；(2)如果ab，cd，且c0，d0，是否可以推出？举例说明.分析：以不等式性质作为理论依据，进行分析判断.举反例时，只要举出一例即可否定命题的正确.答案：(1)不能确定.因a5，b3，c2，d6时满足ab，cd，而ac10，bd18有acbd.(2)不能确定.因a5，b6，c1，d2满足ab，cd，而有.3.求证：(1)如果ab，ab0，那么；(2)如果ab0，cd0，那么acbd；(3)如果ab，那么c2ac2b.分析：以不等式性质为依据，也可从不等式的意义出发进行推理.答案：(1)ab，ab0两边同时乘以正数，得即.(本题实际上即同号两数取倒数的大小性质，以后可直接引用)(2)ab0，cd0当cd，a0时，有acad 当ab，d0时，有adbd 综合、两式可得：acbd.(3)ab2a2bc2ac2b.4.如果30x42，1y24，求xy，x2y及的取值范围.分析：此题涉及两个不等式之间的加、减、乘、除一定要注意同向作加、乘，异向作减、除，乘除还有不等式左右两端都为正数的条件.答案：30x42，16y24482y32，3016xy4224即46xy66；3048x2y4232即18x2y10；师生共析我们由于经常遇到不等式作减法、作除法和取倒数的运算，而教材中的不等式性质定理及推论又缺少这些运算.因此，我们在实践过程中要充实这些内容，并在证明之后，当作性质来用，提高认识这些问题的速度.如，在本题中，由30x42，482y32，利用异向不等式相减，直接可得18x2y10.同样，由30x42，24y16，作异向不等式相除，直接可得.课时小结我们学习了不等式的性质定理及其若干条推论，这些性质可分为如下三种类型：(1)反对称性(即定理1)；(2)传递性(即定理2)；(3)不等式的运算性，它包括不等式的加、减、乘、除、乘方、开方、取倒数等运算性质.对于这些性质我们首先要理解并记住每条性质的条件，尤其要注意字母的符号及不等式的方向，其次要搞清楚这些性质的主要用途以及其证明的基本方法，从而为后继课程的学习打下良好的基础.课后作业(一)课本P习题6.1 4.（3）、（4），5.(二)1.预习内容：课本P算术平均数与几何平均数；2.预习提纲：(1)理解命题：如果a、bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）；(2)学会推导并掌握定理：如果a、b是正数，那么 (当且仅当ab时，取“”号).板书设计6.1.3 不等式的性质(三)一、不等式的性质 二、不等式性质证明及应用 课时小结 定理4 定理证明 课后作业推论1 例题推论2 课堂练习定理5