2019-2020年中考数学专题复习六、四边形.doc

2019-2020年中考数学专题复习六、四边形【近三年江苏省十三大市中考四边形的分值与比率】(仅供参考)xx年xx年xx年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市12.0010.0015.0012.5012.0010.00苏州市15.0012.5020.0015.3815.0011.54无锡市 20.0016.6717.0013.086.004.62常州市12.008.0015.0012.509.007.50镇江市9.006.0015.0012.5031.0025.83扬州市22.0014.673.002.0025.0016.67泰州市13.008.6716.0010.6716.0013.33南通市16.0010.6721.0014.0032.0021.33盐城市23.0015.3316.0010.6728.0018.67淮安市15.0010.0026.0017.3331.0020.67宿迁市12.008.0018.0012.0026.0021.67徐州市16.0013.3316.0013.3323.0016.43连云港市15.0010.006.004.0023.0016.43平 均15.3810.3015.6911.5421.6215.87【课标要求】1.能探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.能掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，判定及其性质，了解它们之间的关系，了解四边形的不稳定性.3.能掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关性质，并会运用将梯形分解为平行四边形与三角形的方法来解决一些简单问题.4.能通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.5.能探索并掌握梯形中位线定理，能够运用梯形的中位线定理进行简单的计算.【课时分布】四边形部分在第一轮复习时大约需要7个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排(仅供参考).课时数内容1多边形、平行四边形3特殊的平行四边形(矩形、菱形、正方形)1梯形2四边形单元测试与评析【知识回顾】1.知识脉络菱形梯形等腰梯形直角梯形四边形矩形正方形平行四边形2.基础知识(1)有关特殊四边形的一些概念和结论两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一个角是直角的菱形或有一组邻边相等的矩形叫做正方形.只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.(2)几种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等既是轴对称图形又是中心对称图形菱形对边平行，四边相等对角相等对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角.等腰梯形两底平行，两腰相等同一底边上的两个角相等对角线相等轴对称图形(3)几种特殊四边形的常用判定方法从 边 的 角 度从 角 的 角 度从对角线的角度平行四边形(1)两组对边分别平行(2)两组对边分别相等(3)一组对边平行且相等两组对角分别相等两条对角线互相平分直 接 识 别间 接 识 别矩 形有三个角是直角(1)是平行四边形，且有一个角是直角(2)是平行四边形，且两条对角线相等菱 形四条边相等(1)是平行四边形，且有一组邻边相等(2)是平行四边形，且两条对角线互相垂直正 方 形(1)是矩形，且有一组邻边相等；(2)是菱形，且有一个角是直角等腰梯形(1)是梯形，且同一底边上的两个角相等； (2)是梯形，且两条对角线相等(4)其他重要结论n边形的内角和等于(n-2)180；任意多边形的外角和是360.正n边形的一个内角等于或.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.平行线之间的距离处处相等.3.能力要求例1 (1)一个正方形和两个等边三角形的位置如图6-1所示，若3=50，则1+2 =_；(2)如图6-2，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的1= .123图6-1 图6-2【分析】(1)由三角形的外角和为360可知，1与2的和为36090606050=100.(2)首先求得正八边形的内角的度数，则1的度数是正八边形的度数的一半.【解】(1)1+2=36090606050=100.故答案为100.(2)正八边形的内角和是：(82)180=1080，则正八边形的内角是：10808=135，则1=135=67.5.故答案是：67.5.【说明】本题考查多边形的内角和定理，外角和定理及每个内角的求法，教学中要求学生熟练掌握多边形内角和及正多边形内角与外角的计算公式.例2 准备一张矩形纸片，按如图6-3操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积.图6-3【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EBDF，DEBF，根据平行四边形判定推出即可.(2)求出ABE=30，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案.【解】(1)证明：四边形ABCD是矩形，A=C=90，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，EBD=FDB，EBDF，EDBF，四边形BFDE为平行四边形.(2)解：四边形BFDE为菱形，BE=ED，EBD=FBD=ABE，四边形ABCD是矩形，AD=BC，ABC=90，ABE=30，A=90，AB=2，AE=，BF=BE=2AE=，菱形BFDE的面积为：2=.【说明】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，解题中中要求学生熟练掌握各种判定定理和基本图形，理清思路，书写时要注意数学语言的精炼.图6-4例3 如图6-4，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由.【分析】(1)根据正方形的性质可得AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，从而得到MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM和MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解.【解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP(SAS)，AM=BP，BAM=CBP.BAM+AMB=90，CBP+AMB=90.AMBP.AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，AMMN，且AM=MN.MNBP.四边形BMNP是平行四边形；(2)解：BM=MC.理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ.又B=C=90，ABMMCQ，.MCQAMQ，AMQABM.BM=MC.【说明】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，(1)求出两个三角形全等是解题的关键，(2)根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM是解题的关键.图6-5例4 如图6-5， D为ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点.若CF=6，BF=9，AG=8，则ADC的面积为何？()A.16B.24C.36D.54【分析】由于SADC=SAGCSADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解.【解】SADC=SAGCSADG=AGBCAGBF=8(69)89=6036=24.故选：B.【说明】考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算.例5 如图6-6，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF.图6-6(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若EFAB，垂足为M，tanMBO=，求EM：MF的值.【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得AEO=CFO，然后利用“角角边”证明AEO和CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；(2)设OM=x，根据MBO的正切值表示出BM，再根据AOM和OBM相似，利用相似三角形对应边成比例求出AM，然后根据AEM和BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可. 【解】(1)证明：在菱形ABCD中，ADBC，OA=OC，OB=OD，AEO=CFO，在AEO和CFO中，AEOCFO(AAS)，OE=OF，又OB=OD，四边形BFDE是平行四边形； (2)解：设OM=x，EFAB，tanMBO=，BM=2x.又ACBD，AOMOBM.AM=x.ADBC，AEMBFM，EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4.【说明】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于(2)两次求出三角形相似.例6 如图6-7，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC，BD交于点O，AC BD.DBOCA图6-7DBOCA图6-8（备用）DBOCA图6-9（备用）(1)若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接E，F，G，H得四边形EFGH.若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积.(2)若AD=3，试求AB的长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由ACBD入手，从而得到四边形EFGH为正方形，连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，从而求出，即得出了四边形EHGF的面积.(2)过点D作DEAC交BC的延长线于点E，易证四边形为平行四边形，从而得到，由等腰梯形的性质有，故，由ACBD知DEBD，因而为等腰直角三角形，过点D作于点，由等腰梯形和平行四边形的性质有，故，因而易求DF，CF及DC， 从而求得AB的长.【解】(1)如图6-10，在ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，EF =AC.同理FG =BD，GH =AC，HE =BD.在梯形ABCD中，AB =DC， AC =BD.EF =FG =GH =HE.四边形EFGH是菱形.设AC与EH交于点M，在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，M图6-10BCHEADOGFEHBD.同理GHAC.ACBD，BOC =90.EHG =EMC =90.四边形EFGH是正方形.连接EG，在梯形ABCD中，E，F分别是AB，DC的中点，.在RtEHG中，EH =GH，.即四边形EFGH的面积为.(2)如图6-11，过点D作DE/AC交BC的延长线于点E，作DFBE于点F.梯形ABCD为等腰梯形，OEABDFC图6-11AC=BD.ADBC，CE=AD，ACED为平行四边形.AC=DE， BD=DE.梯形ABCD为等腰梯形，.ACED为平行四边形，.ACBD，ACDE，BDE=90.BD=DE，BDF为等腰直角三角形. .FC=EF-CF=EF-AD=4-3=1.【说明】本题考查了三角形的中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理.题中若出现多个线段中点，可以考虑从中位线角度解决问题；梯形的对角线互相垂直时，可作辅助线平移一腰构造直角三角形，从而利用直角三角形解决问题.利用梯形的中位线定理和添设梯形常用的辅助线是解决本题的关键.梯形常用辅助线的作法：(如图6-12)平移一腰平移对角线作高延长两腰过梯形一腰中点构造全等三角形构造平行四边形图6-12图6-13例7 如图6-13，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC=90，AB=8cm，BC=4cm，CD=5cm.动点P从点B开始沿折线BCCDDA以1cm/s的速度运动到点A.设点P运动的时间为t(s)，PAB面积为S(cm2).(1)当t=2时，求S的值；(2)当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；(3)当S=12时，求t的值.【分析】(1)当t=2时，可求出P运动的路程即BP长，再根据三角形的面积公式计算即可；(2)当点P在DA上运动时，过D作DHAB，PMAB，求出PM的值即为PAB中AB边上的高，再利用三角形的面积公式计算即可；(3)当S=12时，则P在BC或AD上运动，利用(1)和(2)中的面积和高的关系求出此时的t即可【解】(1)动点P以1cm/s的速度运动，当t=2时，BP=2cm，S的值=ABBP=82=8cm2；(2)过D作DHAB，过P作PMAB，PMDH，APMADH，.AB=8cm，CD=5cm，AH=ABDC=3cm.BC=4cm，AD=5cm.PM=.S=ABPM=，即S关于t的函数表达式S=；(3)由题意可知当P在CD上运动时，S=84=16cm2，所以当t=12时，P在BC或AD上，图6-14当P在BC上时，12=8t，解得：t=3；当P在AD上时，12=，解得：t=.当S=12时，t的值为3或.【说明】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和三角形面积公式的运用，题目的综合性较强，难度中等，对于动点问题特别要注意的是分类讨论数学思想的运用.例8 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.问题思考：如图6-15，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.(2)分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：(3)如图6-16，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长.(4)如图6-17，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.图6-15 图6-16 图6-17【分析】(1)设AP=x，则PB=1x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+(8x)2，配方得到2(x4)2+32，然后根据二次函数的最值问题求解.(2)根据PEBF求得PK=，进而求得DK=PDPK=a=，然后根据面积公式即可求得.(3)本问涉及点的运动轨迹.PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图6-19所示；(4)本问涉及点的运动轨迹.GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如图6-20所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如图6-21所示.图6-18图6-19图6-20【解】(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.设AP=x，则PB=8x，根据题意得：这两个正方形面积之和=x2+(8x)2=2x216x+64，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32.(2)存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK.依题意画出图形，设AP=a，则PB=BF=8a.PEBF，即.PK=.DK=PDPK=a=SAPK=PKPA=a=，SDFK=DKEF=(8a)= SAPK=SDFK.(3)当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A.此时在RtAPQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4.所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上.PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧所以PQ的中点O所经过的路径的长为：24=6.(4)点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为.分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形.点O为中点，OS=(GR+HT)=(AP+PB)=4，即OS为定值.点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上.MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，图6-21点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XYAB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5.如图6-21，作点M关于直线XY的对称点M，连接BM，与XY交于点O.由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM最小.在RtBMM中，由勾股定理得：BM=.OM+OB的最小值为.【说明】本题是中考压轴题，难度较大.解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点，是一道好题.【复习建议】1.回归课本，加强双基，切实提高复习的有效性数学课本是数学基础知识的载体，重视课本教学，充分发挥课本的功能，加强学生对基础知识的理解、基本技能的培养，有效提高课堂复习的效率；2.关注中考热点，聚焦考查难点四边形这部分内容中考中常以填空题、选择题、证明题、计算综合题、探究操作题等形式呈现，重点考查平行四边形及特殊平行四边形的性质在实际问题中的应用，梯形问题及多边形问题的研究方法，还会考查学生的动手操作和实践创新能力；识图、分析、灵活运用几何知识解决实际问题的能力及探索、发现问题的能力.本章内容复习时重点关注一类通过实验，操作探究出简单的几何结论后，再加以证明的新题型，寓意在于揭示四边形在运动状态下几何关系的不变性；3.加强知识间的相互联系，提高综合应用能力平行四边形的性质与判断是本章内容的重点，它是菱形、矩形、正方形的基础和铺垫.复习时要注意梳理知识间的衔接与过渡，掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的之间的区别与联系，基础知识不能忽视，复习训练时注意运用特殊四边形的面积公式解决图形的面积计算问题(含应用问题)，注意结合平移、翻折、旋转等几何变换，并能根据现实几何情境的需要能进行恰当的操作、说明和逻辑推理，并通过用文字语言的表述进一步深化对四边形的理解，进一步提高学生的综合能力和数学素养；4.注重数学思想方法渗透，发展合情推理能力(1)数学建模思想多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数学建模思想，尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际生活中的问题；(2)分类讨论思想根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同，结合各自的特点进行分类，得出最终的结论；(3)化归与转化思想要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等；(4)注意观察、分析、总结在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过从题中抽象出一个基本图形或者利用辅助线构造出基本图形，由繁变简，往往能起到事半功倍的效果.