2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数2.6函数模型及函数的综合应用讲义.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数2.6函数模型及函数的综合应用讲义考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xxxxxxxxxx函数模型及函数的综合应用函数模型建模求解以及函数的综合应用B17题14分解答题分析解读应用题是江苏高考的必考内容,试题主要考查实际问题建模求解.五年高考考点函数模型及函数的综合应用1.(xx四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.答案242.(xx辽宁改编,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为.答案3.(xx课标全国理改编,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|ax,则a的取值范围是.答案-2,04.(xx江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)由(1)知,y=(5x20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.当t(5,10)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.5.(xx课标全国,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x-2时, f(x)kg(x),求k的取值范围.解析(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f (0)=4,g(0)=4.而f (x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知, f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)0,即k1.令F(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.(i)若1ke2,则-2x10.从而当x(-2,x1)时,F(x)0.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+)上单调递增.故F(x)在-2,+)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-4x1-2=-x1(x1+2)0.故当x-2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,则F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x-2时,F(x)0,即F(x)在(-2,+)上单调递增.而F(-2)=0,故当x-2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.(iii)若ke2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0.从而当x-2时, f(x)kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是1,e2.教师用书专用(67)6.(xx浙江,17,5分)已知aR,函数f(x)=+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.答案7.(xx天津理改编,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)t(10),所以当内环线投入10列列车运行,外环线投入8列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差最短.2.(xx江苏扬州期中,18)如图,某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线l上有相距70千米的B,C两个小镇,并且AB=30千米,AC=80千米,已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人,C镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在B,C之间建一个码头D,运送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每千米运输成本之比为12.(1)求sinABC的大小;(2)设ADB=,试确定的大小,使得运输总成本最少.解析(1)在ABC中,cosABC=-,所以sinABC=.(2)在ABD中,由=得=,所以AD=,BD=-,设水路运输每百人每千米的运输成本为k元,陆路运输每百人每千米的运输成本为2k元,k0,则运输总成本y=(5CD+3BD)2k+8kAD=2k5(70-BD)+3BD+4AD=20k,=20k,令H()=,则H()=,令H()=0,解得cos =,=.当0时,H()0,H()单调递减;当0,H()单调递增,当=时,H()取得最小值,k0,当=时,y取得最小值.此时BD=-=,满足0BD70,所以点D落在B,C之间,符合题意.所以=时,运输总成本最少.答:当=时,运输总成本最少.3.(xx江苏镇江期末,17)如图,某公园的三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;(2)设CEF=,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为的函数,并求甲、乙之间的最小距离.解析(1)依题意得BD=300,BE=100,在RtABC中,cos B=,B=,在BDE中,由余弦定理得:DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-2300100=70 000,DE=100.答:甲、乙两人之间的距离为100 m.(2)由题意得EF=2DE=2y,BDE=CEF=,在直角三角形CEF中,CE=EFcosCEF=2ycos ,在BDE中,由正弦定理得=,即=,y=,0,当=时,y取得最小值50.答:y=,0,且甲、乙之间的最小距离为50 m.B组xx模拟提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(xx江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD,上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan =.(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证上述采光要求?(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中取3)解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心为H(9,6),半径r=9.设太阳光线所在直线的方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b=(舍).故太阳光线所在直线的方程为y=-x+24,令x=30,得EG=1.5,因为1.5OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为M,且M与OB的长成正比,比例系数为k(k为正常数);在AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为N,且N与AOC的面积成正比,比例系数为4k.设OA=x,OB=y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)求N-M的最大值及相应的x的值.解析(1)由题意得,AB=y+1,在ABC中,由余弦定理得,x2+y2-2xycos 120=(y+1)2,解得y=.由x0,y0,xy,得1x,所以x的取值范围是.(2)M=kOB=ky,N=4kSAOC=3kx,且N-M=k(3x-y)=k,设2-x=t,则t,且N-M=k=kk=(10-4)k.当且仅当4t=,即t=时取等号,此时t,x=2-,所以当x=2-时,N-M取最大值(10-4)k.C组xx模拟方法题组方法函数的实际应用题1.(xx江苏常熟高三期中)如图所示为自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2米,梯形的高为1米,CD为3米,上部CFD是个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆,且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方或上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风).(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y=S(x);(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值?解析(1)当0x1时,过A作AKCD于K(如图).则AK=1,DK=,HM=1-x,由=2,得DH=,HG=3-2DH=2+x,S(x)=HMHG=(1-x)(2+x)=-x2-x+2.当1x时,过E作ETMN于T,连结EN(如图).则ET=x-1,TN=,MN=2,S(x)=MNET=2(x-1),综上,S(x)=(2)当0x1时,S(x)=-x2-x+2=-+,S(x)在0,1)上递减,S(x)max=S(0)=2.当1x2,S(x)的最大值为.故当MN与AB之间的距离为米时,通风窗的通风面积S取得最大值.2.一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设BOC=,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).(1)求V关于的函数表达式;(2)当体积V最大时,求的值;(3)当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.解析(1)S梯形ABCD=sin =sin cos +sin ,体积V()=10(sin cos +sin ),.(2)V()=10(2cos2+cos -1)=10(2cos -1)(cos +1).令V()=0,得cos =,或cos =-1(舍).,=.当时,cos 1,V()0,V()为增函数;当时,0cos ,V()0,V()为减函数,当=时,体积V最大.(3)是.理由如下:木梁的侧面积S侧=(AB+2BC+CD)10=20cos +2sin+1,.S=2S梯形ABCD+S侧=2(sin cos +sin )+20,.设g()=cos +2sin +1,.g()=-2sin2+2sin+2,当sin=,即=时,g()最大.又由(2)知=时,sin cos +sin 取得最大值,所以=时,木梁的表面积S最大.综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.