2019-2020年高中数学第三章导数及其应用单元质量评估含解析新人教A版选修.doc

2019-2020年高中数学第三章导数及其应用单元质量评估含解析新人教A版选修一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一质点的运动方程为s=20+gt2(g=9.8m/s2),则t=3s时的瞬时速度为()A.20m/sB.29.4m/sC.49.4m/sD.64.1m/s【解析】选B.v=s(t)=gt,所以当t=3时,v=3g=29.4(m/s).2.已知f(x)在x=x0处的导数为4,则=()A.2B.8C.-8D.1【解析】选B.=2=2f(x0)=24=8.3.函数y=+lnx的单调递减区间是()A.(0,+)B.(0,1)C.(-,1)D.(-,0)和(0,1)【解析】选B.y=-+=(x0),因为当0x1时,y1时y0.所以y=+lnx的单调递减区间为(0,1).4.设函数f(x)=x3-4x+4,则f(x)在0,3上的最小值为()A.-B.C.1D.0【解析】选A.f(x)=x2-4=(x+2)(x-2).令f(x)=0,解得x1=-2(舍去),x2=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x0(0,2)2(2,3)3f(x)-4-0+5f(x)4极小值-1所以函数f(x)在0,3上有极小值-,也是最小值.5.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解析】选B.由函数f(x)的导函数y=f(x)的图象自左至右是先增后减,可知函数y=f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.6.若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.f(x)=3kx2+6(k-1)x.由题意知3kx2+6(k-1)x0,即kx+2k-20在(0,4)上恒成立,得k,x(0,4),又1,所以k.7.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是()【解析】选D.设h(x)=f(x)ex,则h(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x=-1时,ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,所以c=a.所以f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2=1,D中图象一定不满足该条件.8.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2【解析】选C.设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2sin60l,所以l=,所以S表=2S底+S侧=x2sin60+3xl=x2+.令S表=x-=0,即x3=4V,解得x=.当0x时,S表时,S表0.所以当x=时,表面积最小.9.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0【解析】选A.因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-20,所以f(a)=0时a(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+)上单调递增,且g(1)=-20,所以g(a)0,g(b)=0得b(1,2),又f(1)=e-10,且f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以f(b)0.综上可知,g(a)0x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”,给出下列函数:y=-x3+x+1;y=3x-2(sinx-cosx);y=ex+1;f(x)=其中函数是“H函数”的个数为()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.注意到不等式x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)(x1-x2)f(x1)-f(x2)0函数f(x)是在R上的增函数,对于,注意到当x=0与x=1时,相应的函数值相等,因此函数y=-x3+x+1不是在R上的增函数;对于,注意到y=3-2(cosx+sinx)=3-2sin3-20,因此函数y=3x-2(sinx-cosx)是在R上的增函数;对于,注意到y=ex0,因此函数y=ex+1是在R上的增函数;对于,注意到当x=1与x=-1时,相应的函数值相等,因此该函数不是在R上的增函数.综上所述,故选C.11.(xx全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)【解析】选A.记函数g(x)=,则g(x)=,因为当x0时,xf(x)-f(x)0时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递减;又因为函数f(x)(xR)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0x0,则f(x)0;当x-1时,g(x)0,综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).12.已知y=f(x)是(0,+)上的可导函数,满足(x-1)2f(x)+xf(x)0(x1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=xx,则a等于()A.-500.5B.-501.5C.-502.5D.-503.5【解析】选C.令F(x)=x2f(x),则F(x)=2xf(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),当x1时,F(x)0,F(x)在(1,+)上递增;当0x1时,F(x)0,(x-2)20.由f(x)0,解得x0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=+在x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值的差.【解析】f(x)=3x2+2ax+b.因为f(x)在x=2处有极值,所以f(2)=0,即12+4a+b=0.因为f(1)=-3,所以2a+b+3=-3.由,得a=-3,b=0.所以f(x)=x3-3x2+c.令f(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.当x(-,0)(2,+)时,f(x)0;当x(0,2)时,f(x)6时,令g(x)=0,则x1=,x2=.可知函数g(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.(2)令f(x)=0,则x=0或x=a.若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点,则a0且交点坐标为P(a,0).又f(x)=3x2-2ax,则f(a)=a2,所以曲线在点P处的切线方程为y=a2(x-a),即g(x)=a2x-a3,令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3,h(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),函数h(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+)上单调递增,所以当x=a时,h(x)有最小值,所以h(x)0,则f(x)g(x).20.(12分)已知函数f(x)=x2-alnx(aR).(1)求f(x)的单调区间.(2)设g(x)=f(x)+2x,若g(x)在1,e上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=x-=(x0).若a0,则f(x)0,所以此时只有递增区间(0,+).若a0,当f(x)0时,得x,当f(x)0时,得0x0),设h(x)=x2+2x-a(x0).若g(x)在1,e上不单调,则h(1)h(e)0.所以(3-a)(e2+2e-a)0,所以3ag(1)即可.得出:a+2e-所以a的范围为.21.(12分)若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.(1)求函数的解析式.(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.【解析】f(x)=3ax2-b.(1)由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=2或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)-因此,当x=-2时,f(x)有极大值,当x=2时,f(x)有极小值-,所以函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图所示.若f(x)=k有3个不同的根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-k或k-时方程只有1个实数根.22.(12分)(xx全国甲卷)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=(1-2x-x2)ex,令f(x)=0得x=-1,当x(-,-1-)时,f(x)0;当x(-1+,+)时,f(x)0;所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)单调递减;在(-1-,-1+)单调递增.(2)f(x)=(1-x2)ex,当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex, h(x)=-xex0(x0),因此h(x)在0,+)单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)ax+1; 当0a1时,设函数g(x)=ex-x-1,g(x)=ex-10(x0),所以g(x)在0,+)单调递增,而g(0)=0,故exx+1,当0x(1-x)(x+1)2,(1-x)(x+1)2- ax-1=x(1-a-x-x2), 取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1,矛盾.当a0时,取x0=(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1矛盾,综上,a的取值范围为1,+).