2019-2020年高考数学一轮复习第11单元鸭4系列听课学案理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第11单元鸭4系列听课学案理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的,记为.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的,记为.有序数对(,)叫作点M的极坐标,记作M(,). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间的关系为x=,y=sin ,由此得2=,tan =(x0). 3.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆=r圆心为(r,0),半径为r的圆=2rcos 圆心为,半径为r的圆=2rsin (00,0b0)(为参数)3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是(t是参数). 若M1,M2是l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则:(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos ,y0+t1sin ),(x0+t2cos ,y0+t2sin );(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=;(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,2a)的直线l的倾斜角为,点P(x,y)为直线l上的动点,且|AP|=t.圆C以C(2a,2a)为圆心,为半径,Q(x,y)为圆C上的动点,且CQ与x轴正方向所成的角为.(1)分别以t,为参数,求出直线l和圆C的参数方程;(2)当直线l和圆C有公共点时,求a的取值范围. 总结反思 几种常见曲线的参数方程:(1)直线的参数方程.过点P(x0,y0)且倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).(2)圆的参数方程.若圆心为点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为(为参数).(3)椭圆+=1(ab0)的参数方程为(为参数).(4)双曲线-=1(a0,b0)的参数方程为(为参数).(5)抛物线y2=2px(p0)的参数方程为(t为参数).式题 xx长沙二模 在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(s为参数),曲线C的参数方程为(t为参数),若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.探究点二参数方程与普通方程的互化2 xx临汾三模 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围. 总结反思 (1)消去参数的方法一般有三种:利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数;利用三角恒等式消去参数;根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.式题 xx湖北六校二联 已知直线l:(t为参数),曲线C1:(为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.探究点三直线的参数方程3 xx雅安三诊 平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为sin=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|. 总结反思 (1)直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0;设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为tM=.式题 xx鹰潭一模 在直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程;(2)求+的取值范围.探究点四圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0b,那么;如果bbbb,bc,那么,即ab,bc. (3)如果ab,那么a+c,即aba+c. 推论:如果ab,cd,那么,即ab,cd. (4)如果ab,c0,那么ac;如果ab,c0,那么acb0,那么anbn(nN,n2). (6)如果ab0,那么(nN,n2).2.基本不等式(1)如果a,bR,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立. (2)如果a0,b0,那么,当且仅当时,等号成立. (3)如果a0,b0,那么称为a,b的平均,称为a,b的平均. (4)如果a0,b0,c0,那么,当且仅当时,等号成立. (5)对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1 xx湖南长郡中学二模 若对于实数x,y,有|x+y+1|,求证:. 总结反思 (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为|a|-|b|ab|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便.式题 若x,y满足|x-3y|,|x+2y|,求证:|x|0).(1)求证:f(x)8恒成立;(2)求使得不等式f(1)10成立的实数m的取值范围. 总结反思 含有绝对值的不等式的证明方法:去掉绝对值符号(|x|a-axa(a0),|x|axa或x0)再证明;利用绝对值不等式的性质(|a|-|b|ab|a|+|b|)来证明.式题 xx宣城二调 已知f(x)=|ax-1|,若实数a0,不等式f(x)3的解集是x|-1x2.(1)求a的值;(2)若ba-b0,aba-bb,只要证明即可,这种方法称为求差比较法. 求商比较法:ab01且a0,b0,因此当a0,b0时要证明ab,只要证明1即可,这种方法称为求商比较法. (2)分析法从所要证明的出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. (3)综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法. (4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法.(5)反证法的步骤作出否定的假设;进行推理,导出;否定,肯定.2. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(+)(+)(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立). 柯西不等式的向量形式:设,为平面上的两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立. 二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2R,那么+,当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立. (2)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(+)(+)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立. 课堂考点探究探究点一柯西不等式的应用1 已知x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1.(1)求+的最小值;(2)求证:x2+y2+z2. 总结反思 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)(am+bn+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值.式题 xx长沙雅礼中学二模 已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求证:2+4.探究点二利用综合法、分析法证明不等式2 xx衡水中学二模 已知定义在R上的函数f(x)=|x-2m|-|x|,mN*,且f(x)0),+2(ab0),+-2(ab0),利用已知条件得出M点坐标,根据|OM|OP|=16列方程可得C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设B(B,)(B0),由|OA|=2,B=4cos ,即可求出OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+,所以OAB面积的最大值为2+. 变式题解:(1)x=cos ,y=sin ,C1的极坐标方程为cos +sin -4=0.x2+(y-1)2=1,又x=cos ,y=sin ,(cos )2+(sin -1)2=1,即2-2sin =0,C2的极坐标方程为=2sin .(2)设A(1,),B(2,),则1=,2=2sin ,则=2sin (cos +sin )=,又00,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-0,所以t10,t20,即sin2,又0,),sin1,又t1+t2=-(cos +3sin ),t1t2=2,+=-=-=sin,sin1,0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则又直线l过点P(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=2.故+=,所以所求的最小值为.变式题解:(1)曲线C1的参数方程为(t为参数),其普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.曲线C2的参数方程为(为参数),其普通方程为+=1,C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)由t=,得P(-4,4),设Q(8cos ,3sin ),故M-2+4cos ,2+sin ,(cos -2sin )=7可化为x-2y=7,故M到C3的距离d=|4cos -3sin -13|=|5cos(+)-13|其中tan =,从而当cos(+)=1时,d取得最小值,为.【备选理由】例1考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例2考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例3考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例4考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用.以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充.1 配例2使用 xx珠海调研 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin=2.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.解:(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将代入,化简得=4cos ,曲线C的极坐标方程是=4cos .(2)直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,联立得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),所求弦长为=2.2 配例3使用 已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4sin.(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若P点的直角坐标为(2,1),求|PA|-|PB|的值.解:(1)易得直线l的普通方程为y=x-1.因为曲线C的极坐标方程为=4sin=4sin +4cos ,即2=4sin +4cos ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0(或写成(x-2)2+(y-2)2=8).(2)点P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-70,即t1,t2异号,所以|PA|-|PB|=|t1|-|t2|=|t1+t2|=.3 配例4使用 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:2=,直线l:2sin=.(1)判断曲线C与直线l的位置关系,写出直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求|AB|的值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴的交点为P(0,),将P(0,)代入椭圆方程左边得0+1,故点P(0,)在椭圆的内部,所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为(t为参数).(2)由(1)知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为+=1,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|=6.4 配例4使用 xx岳阳一中月考 直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),曲线C1:(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=-2cos +2sin .(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|.解:(1)曲线C1:(为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,展开可得x2+y2-2y=0,可得其极坐标方程为2-2sin =0,即=2sin .曲线C2的极坐标方程为=-2cos +2sin ,即2=(-2cos +2sin ),化为直角坐标方程是x2+y2=-2x+2y.(2)直线l:(t为参数),化为普通方程是y=-x,可得其极坐标方程是=(R),|OA|=2sin=,|OB|=-2cos+2sin=-2+2=4,|AB|=|OB|-|OA|=4-.第69讲不等式的性质及绝对值不等式考试说明 1. 理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR);|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)bb(2)acac(3)b+cb+ca+cb+da+cb+d(4)bcbc(5)(6)2. (1)2aba=b(2)a=b(3)算术几何(4)a=b=c(5)3. (1)ab0(2)(a-b)(b-c)0【课堂考点探究】例1思路点拨 借助绝对值三角不等式进行证明.证明:=x+y+1-y+|x+y+1|+=,所以.变式题证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x-3y)|+|3(x+2y)|=.例2思路点拨 (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的图像,数形结合求得满足xa,+)时g(x)f(x)的a的取值范围.解:(1)f(x)=当x-2时,x-4-2,即x2,x;当-2x1时,3x-2,即x-,-x1;当x1时,-x+4-2,即x6,1x6.综上,f(x)-2的解集为.(2)函数y=f(x)的图像如图所示.g(x)=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,当-a2,即a-2时,符合题意;当-a-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,a2+,即a4.综上,a-2或a4.变式题解:(1)当a=-1时,不等式f(x)0可化为|2x+1|-|x|-10,或或解得x-2或x0,不等式f(x)0的解集为(-,-20,+).(2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|,令g(x)=2x+|x|-|2x+1|,则g(x)=作出函数y=g(x)的图像,如图所示,易知A-,-,B(0,-1),结合图像知,当-1a10,分1-2m0和1-2m0,得f(x)=+|x-2m|=+2m2=8,当且仅当=2m且(x-2m)0,即m=2且-4x4时取等号,所以f(x)8恒成立.(2)f(1)=+|1-2m|(m0).当1-2m时,f(1)=1+-(1-2m)=+2m,由f(1)10,得+2m10,化简得m2-5m+40,解得m4,所以m4.当1-2m0,即010,得2+-2m10,此不等式在00,所以-x,因为不等式f(x)3的解集是x|-1x2,所以解得a=2.(2)因为=,所以要使,解得k或k-, 所以实数k的取值范围是.【备选理由】这里选用的三个例题,涉及求绝对值不等式的解、由解集求参数、不等式的证明,以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力.1 配例1使用 已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|5;(2)若对任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)由|x-1|+2|5得-5|x-1|+25,所以-7|x-1|3,得-2x4,故不等式|g(x)|5的解集为x|-2x4.(2)因为对任意x1R,都有x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以y|y=f(x)y|y=g(x),又f(x)=|2x-a|+|2x+3|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+22,所以|a+3|2,解得a-1或a-5,所以实数a的取值范围为a-1或a-5.2 配例2使用 xx山西实验中学模拟 已知函数f(x)=|x-2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.(1)求不等式f(x)g(x)的解集;(2)如果f(x)|1-5a|恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)g(x),即|x-2|+|x+4|x2+4x+3.当x-4时,原不等式等价于-(x-2)-(x+4)x2+4x+3,即x2+6x+50,解得-5x-1,-5x2时,原不等式等价于(x-2)+(x+4)x2+4x+3,即x2+2x+10,解得x=-1,x.综上可知,不等式f(x)g(x)的解集是x|-5x-2+.(2)|x-2|+|x+4|x-2-x-4|=6,且f(x)|1-5a|恒成立,6|1-5a|,即-61-5a6,-1a,a的取值范围是.3 配例3使用 xx深圳二调 已知函数f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,aR.(1)若f(a)2|1-a|,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)1存在实数解,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(a)2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|2|1-a|,即(|a|-1)|1-a|0.当a=1时,不等式成立;当a1时,|1-a|0,则|a|-10,解得-1a0(2)结论(5)结论矛盾假设结论2. (1)(a1b1+a2b2)2【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)利用基本不等式可得当且仅当=且=且=时,+取得最小值6+2+2+2;(2)利用柯西不等式的特点结合题意证得结论即可,注意等号成立的条件.解:(1)x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1,+=(x+2y+3z)=6+=6+6+2+2+2,当且仅当=且=且=时取等号,故+的最小值为6+2+2+2.(2)证明:由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),x2+y2+z2,当且仅当x=,即x=,y=,z=时取等号, 故x2+y2+z2.变式题解:(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,则解得(2)证明:由柯西不等式有(+)2=(+1)2()2+12()2+()2=16,所以+4,当且仅当=,即t=1时,等号成立.又(+)2=-3t+12+t+212-2t4(0t4),所以+2,当且仅当t=4时,等号成立.综上,2+4.例2思路点拨 (1)依据题设借助绝对值三角不等式分析求解;(2)借助题设条件运用基本不等式进行证明.解:(1)|x-2m|-|x|x-2m-x|=|2m|,要使|x-2m|-|x|4恒成立,则|m|2,解得-2m0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解:(1)因为|x+a|+|x-b|a+b|,所以f(x)|a+b|+c,当且仅当(x+a)(x-b)0时,等号成立,又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(4+9+1)=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2,当且仅当=,即a=,b=,c=时,等号成立, 所以a2+b2+c2的最小值为.2 配例2使用 xx全国卷 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则+;(2)+是|a-b|cd得(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.(ii)若+,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|c-d|的充要条件.3 配例2使用 xx广州模拟 (1)已知a+b+c=1,证明:(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2;(2)若对任意实数x,不等式|x-a|+|2x-1|2恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)证明:因为a+b+c=1,所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+5,所以要证(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2,只需证a2+b2+c2.因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)(a+b+c)2.因为a+b+c=1,所以a2+b2+c2,所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2.(2)设f(x)=|x-a|+|2x-1|,则“对任意实数x,不等式|x-a|+|2x-1|2恒成立”等价于“f(x)min2”.当a时,f(x)=此时f(x)min=f=a-,要使|x-a|+|2x-1|2恒成立,必须a-2,解得a.综上可知,实数a的取值范围为-,-,+.