2019-2020年高中数学 3.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修1-1.doc

2019-2020年高中数学 3.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修1-1三维目标 1.知识与技能理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法2过程与方法培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力3情感、态度与价值观经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心重点、难点重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解(教师用书独具)教学建议 为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题诱导演示讨论探索结果归纳总结(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主教学流程(对应学生用书第49页)课标解读1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程(重点)2理解在某点处与过某点的切线方程的区别(难点、易混点)导数的几何意义【问题导思】1我们知道，导数f(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在xx0附近的变化情况，那么，导数f(x0)是否有一定的几何意义呢？【提示】f(x0)有几何意义2如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？【提示】点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.3第2题图中割线PPn的斜率kn，当点Pn无限趋近于点P时，此斜率与切线PT的斜率有何大小关系？【提示】kn无限趋近于切线PT的斜率1设点P(x0，f(x0)，Pn(xn，f(xn)是曲线yf(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率kli f(x0)2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，在点P的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)导函数的概念从求函数f(x)在xx0处导数的过程看到，当xx0时，f(x0)是一个确定的数；当x变化时，f(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f(x)y .【问题导思】导函数f(x)与函数在xx0处的导数f(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？【提示】不相同(1)两者的区别：由导数的定义知，f(x0)是一个具体的值，f(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数(2)两者的联系：在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.(对应学生用书第49页)导数几何意义的理解若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()【思路探究】(1)导数的几何意义是什么？(2)yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，说明yf(x)图象的切线有什么特点？【自主解答】因为函数yf(x)的导函数yf(x)在a，b上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间a，b上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合【答案】A1f(x0)即为过曲线yf(x)上点P(x0，f(x0)切线的斜率2若曲线yf(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线yf(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数yf(x)在(a，b)上单调递增而若yf(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数yf(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，yf(x)在(a，b)单调递减当函数yf(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数yf(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分已知yf(x)的图象如图311所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()图311Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)Df(xA)与f(xB)大小不能确定【解析】由yf(x)的图象可知，kAkB，根据导数的几何意义有：f(xA)f(xB)【答案】A求曲线的切线方程(1)求曲线yx2x1在点(1,3)处的切线方程(2)求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程【思路探究】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？【自主解答】(1)y 2x1，(1,3)在曲线上，切线斜率ky|x12113.所求切线方程为y33(x1)，即3xy0.(2)y2x1，点(1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率为k2x01.y0xx01，x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10，当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30，故所求切线方程为xy10或3xy30.1如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f(x0)，即得切线的斜率kf(x0)，再根据点斜式得出切线方程2如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上求曲线y在点A(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程【解】yf(x)f()2，切线的斜率ky|x 4.切线方程为y24(x)，即4xy40.导数几何意义的综合应用抛物线yx2在点P处的切线与直线4xy20平行，求P点的坐标及切线方程【思路探究】【自主解答】设P点坐标为(x0，y0)，y (2xx)2x.y|xx02x0，又由切线与直线4xy20平行，2x04，x02，P(2，y0)在抛物线yx2上，y04，点P的坐标为(2,4)，切线方程为y44(x2)，即4xy40.1导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点2导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题已知曲线C：yx3.求：(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【解】(1)将x1代入曲线C的方程，得y1，切点为P(1,1)y 3x23xx(x)23x2，y|x13.过P点的切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)由可得(x1)2(x2)0，解得x11，x22.从而求得公共点为P(1,1)或P(2，8)说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点(2，8)(对应学生用书第51页)错把所给点当作切点致误已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程【错解】f(3) (122x)12.故切线斜率为12.由直线的点斜式方程，得切线方程为y912(x3)，即12xy270.【错因分析】点P不是切点，故切线斜率不是在x3处的导数【防范措施】求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错【正解】f(x0) (4x02x)4x0.由于2327119，故点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02，或x04.所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150，或16xy390.1函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)，相应地，切线的方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2导数f(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f(x)(对应学生用书第51页)1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交【答案】B2如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在【解析】由x2y30知斜率k，f(x0)0.【答案】B3抛物线y2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为_【解析】kf(1)4【答案】44已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为yx2.求f(1)与f(1)的值【解】由题意f(1)12.由导数的几何意义得f(1)k.(对应学生用书第105页)一、选择题1(xx临沂高二检测)设函数f(x)满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是()A2B1C.D2【解析】 f(1)k1，yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是1.【答案】B2过点(1,0)作抛物线yx2x1的切线，则其中一条切线为()A2xy30 B3xy50C2xy10 Dxy10【解析】点(1,0)不在抛物线yx2x1上，故点(1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D符合【答案】D3函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图312所示，则在yf(x)的图象上A，B的对应点附近，有()图312AA处下降，B处上升BA处上升，B处下降CA处下降，B处下降DA处上升，B处上升【解析】所给图象的导函数的图象，且A点处y0，B点处y0，故原函数图象上A处下降，B处上升【答案】A4(xx鹤壁高二检测)如图313所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()图313A. B1 C2 D0【解析】由图象知f(5)583.由导数几何意义知f(5)1.f(5)f(5)312.【答案】C5(xx黄冈高二检测)已知曲线y在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为()A4xy90B4xy90或4xy250C4xy90或4xy250D以上均不对【解析】y 4，k4，切线方程为y44(x1)，即4xy80，设l：4xyc0，由题意，c9或25，应选C.【答案】C二、填空题6已知yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则_.【解析】由题意 (ax2a)2a2，a1，又3a12b，b2，2.【答案】27(xx杭州高二检测)曲线f(x)3xx2在点(1，f(1)处的切线方程为_【解析】k 5.f(1)4.由点斜式得y45(x1)，即y5x1.【答案】y5x18yf(x)，yg(x)，y(x)的图象如图314所示：图314而下图是其对应导数的图象：则yf(x)对应_；yg(x)对应_；y(x)对应_【解析】由导数的几何意义，yf(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则yf(x)对应B.yg(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故yg(x)对应C.y(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y(x)对应A.【答案】BCA三、解答题9已知函数f(x)x22.(1)求f(x)；(2)求f(x)在x2处的导数【解】(1)yf(xx)f(x)(xx)22(x22)(x)22xx，2xx.f(x) 2x.(2)f(2)f(x)|x2224.10已知曲线yx3上一点P(2，)，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程【解】(1)由yx3，得y 3x23xx(x)2x2，y|x2224.所以点p处的切线的斜率等于4.(2)在点p处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.11已知f(x)x2，g(x)x3.(1)求f(x)，g(x)，并判断f(x)和g(x)的奇偶性；(2)若对于所有的实数x，f(x)2ag(x)恒成立，试求实数a的取值范围【解】(1)由导数的定义知，f(x) 2x；g(x) 3x23xx(x)23x2.f(x)和g(x)的定义域为R，故定义域关于原点对称，f(x)2xf(x)，f(x)为奇函数g(x)3(x)23x2g(x)，g(x)为偶函数(2)由f(x)2ag(x)，得3ax22x20对任意实数x恒成立，当a0时，转化为2x20恒成立，即x1，不合题意；当a0时，由3ax22x20对所有实数x都成立得，解得a.综上，a的取值范围是(，).(教师用书独具)在曲线yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角【解】f(x) 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P(，)(3)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P(，)直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切(1)求a的值；(2)求切点的坐标【解】设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点f(x) 3x22x.由题意知，k1，即3x2x01，解得x0或x01.于是切点的坐标为(，)或(1,1)当切点为(，)时，a，a.当切点为(1,1)时，11a，a0(舍去)所以a的值为，切点坐标为(，)