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2019-2020年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标62离散型随机变量的均值与方差解密考纲离散型随机变量及其分布列、均值与方差在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大，正态分布一般以选择题或填空题进行考查一、选择题1设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)p，则P(11)p时，P(01)p，而正态分布曲线关于y轴对称，所以P(10)P(01)p，故选D2某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为(C)A0.6,60B3,12C3,120D3,1.2解析 XB(5,0.6)，Y10X，E(X)50.63，D(X)50.60.41.2，D(Y)100D(X)120.3若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)(C)A2B2或CD1解析 因为分布列中概率和为1，所以1，即a2a20，解得a2(舍去)或a1，所以E(X).4(xx山东潍坊质检)已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，且P(X5)0.8，则P(1X3)(C)A0.6B0.4C0.3D0.2解析 由正态曲线的对称性可知，P(X3)0.5，故P(X1)P(X1)0.2，P(1X3)P(X3)P(X1)0.50.20.3.5(xx浙江卷)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0p1p2，则(A)AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)解析 根据题意得，E(i)pi，D(i)pi(1pi)，i1,2，0p1p2，E(1)E(2)令f(x)x(1x)，则f(x)在上单调递增，所以f(p1)f(p2)，即D(1)D(2)，故选A6设随机变量X服从正态分布N(，2)，且二次方程x24xX0无实数根的概率为，则(C)A1B2C4D不能确定解析 因为方程x24xX0无实数根的概率为，由164X4，即P(X4)1P(X4)，故P(X4)，所以4.二、填空题7设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(a2)，则a的值为_.解析 由正态分布的性质知，若P(a2)，则3，解得a.8某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_200_.解析 记不发芽的种子数为Y，则YB(1 000,0.1)，所以E(Y)1 0000.1100.又X2Y，所以E(X)E(2Y)2E(Y)200.9(xx贵州七校第一次联考)在某校xx年高三11月月考中理科数学成绩XN(90，2)(0)，统计结果显示P(60X120)0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有_78_人解析 因为成绩XN(90，2)，所以其正态曲线关于直线x90对称又P(60X120)0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的(10.8)0.1，所以估计成绩高于120分的有0.178078人三、解答题10某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示.版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望解析 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C1 225.选出2人使用版本相同的方法数为CCCC350.故2人使用版本相同的概率为P.(2)X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PE(X)012.11(xx广东广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示(1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求的分布列和数学期望解析 (1)41，s2(2641)2(3041)2(3641)2(4441)2(5041)2(6041)2137.根据样本估计今年9月份该市区每天PM 2.5的平均值为41，方差为137.(2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则的可能取值为1,2,3，其中P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为123P所以E()1232.12(xx全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表.最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解析 (1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4，因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以当n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元
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