2019-2020年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案理第一节集合本节主要包括2个知识点：1.集合的概念与集合间的基本关系；2.集合的基本运算.突破点(一)集合的概念与集合间的基本关系 1集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作aA；若b不属于集合A，记作bA.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法2集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素AB且BAAB空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集B且B1判断题(1)若x2，10,1，则x0,1.()(2)已知集合Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则ABC.()(3)任何集合都有两个子集()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)已知集合A0,1，x25x，若4A，则实数x的值为_解析：4A，x25x4，x1或x4.答案：1或4(2)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_解析：A0,1,2，Bxy|xA，yA0，1，2,1,2故集合B中有5个元素答案：5(3)集合AxN|0x3，Bx|x2，结合数轴可得：BA.(3)由题意得集合Ax|x22x0x|0x2，要使得AB，则a2.故选A.答案(1)C(2)D(3)A易错提醒(1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系(2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解1(xx河北邯郸一中调研)已知集合A0,1,2，Bz|zxy，xA，yA，则B()A0,1,2,3,4B0,1,2C0,2,4D1,2解析：选A当x0，y0,1,2时，xy0,1,2；当x1，y0,1,2时，xy1,2,3；当x2，y0,1,2时，xy2,3,4.所以Bz|zxy，xA，yA0,1,2,3,42已知集合AxN|x2，By|ylg(x1)，xA，Cx|xA或xB，则集合C的真子集的个数为()A3B7C8D15解析：选B因为AxN|x2，所以A0,1，因为By|ylg(x1)，xA，所以B0，lg 2因为Cx|xA或xB，所以C0,1，lg 2所以集合C的真子集的个数为2317.故选B.3(xx河北衡水中学调研)设A，B是全集I1,2,3,4的子集，A1,2，则满足AB的B的个数是()A5B4C3D2解析：选B满足条件的集合B可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，所以满足AB的B的个数是4.故选B.4(xx成都模拟)已知集合AxN|1xlog2k，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为()A(8，)B8，)C(16，)D16，)解析：选C法一：集合AxN|1x4，解得k16.故选C.法二：取k16，则集合AxN|1xlog2kxN|1x42,3，所以排除A、B、D，故选C.5已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_解析：BA，若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为(，3答案：(，3突破点(二)集合的基本运算 1集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集ABABx|xA，或xB集合的交集ABABx|xA，且xB集合的补集若全集为U，则集合A的补集为UAUAx|xU，且xA2.集合的三种基本运算的常见性质(1)AAA，A，AAA，AA.(2)AUA，AUAU，U(UA)A.(3)ABABAABBUAUBA(UB).1判断题(1)若ABAC，则BC.()(2)若集合A，则RA.()(3)设集合Ux|3x3，xZ，A1,2，B2，1,2，则A(UB)1()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)(xx浙江模拟)已知集合PxR|0x4，QxR|x|3，则PQ_.解析：由题意，得P0,4，Q(3,3)，PQ(3，4答案：(3,4(2)(xx安徽合肥模拟)已知集合Ax|x24，Bx|x10，则AB_.解析：由题意，得Ax|x24(2,2)，Bx|x101，)，所以AB1,2)答案：1,2)(3)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)_.解析：因为UB2,5,8，所以A(UB)2,3,5,62,5,82,5答案：2,5(4)设集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，则U(AB)_.解析：A1,3,5，B3,4,5，AB1,3,4,5又U1,2,3,4,5,6，U(AB)2,6答案：2,6集合的交集或并集例1(1)(xx湖南十校联考)已知集合Px|12x4，Q1,2,3，则PQ()A1B1,2 C2,3D1,2,3(2)(xx山东菏泽模拟)设集合A，Bx|x21，则AB()Ax|1x2Bx|1x2C.Dx|1x1解析(1)Px|12x40,2)，所以PQ1故选A.(2)因为Bx|x21x|1x1，所以ABx|1x2故选B.答案(1)A(2)B方法技巧求集合交集或并集的方法步骤交、并、补的混合运算例2(1)(xx山东临沂模拟)设集合UR，Ax|2x(x2)1，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x1Bx|1x2Cx|01Bx|x1CDx|1x1解析(1)Ax|2x(x2)1x|x(x2)0x|0x0x|x1，则UBx|x1，阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2(2)依题意得Mx|1x1，Nx|x1答案(1)B(2)A方法技巧解决交、并、补混合运算的一般思路(1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解集合的新定义问题例3(xx合肥模拟)对于集合M，N，定义MNx|xM，且xN，MN(MN)(NM)设Ay|yx23x，xR，By|y2x，xR，则AB()A.B.C.0，)D.(0，)解析因为A，By|y0，所以ABy|y0，BA，AB(AB)(BA).故选C.答案C方法技巧解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用1.(xx长春模拟)设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB()A(1,1)B(0,1)C(1，)D(0，)解析：选CA(0，)，B(1,1)，AB(1，)故选C.2.(xx广州模拟)若全集UR，集合Ax|12x4，Bx|x10，则AUB()Ax|1x2Bx|0x1Cx|0x1Dx|1x2解析：选C由题意知，Ax|0x2，Bx|x1，UBx|x1，所以AUBx|0x1，则AB()A(2,4B2,4C(，0)(0,4D(，1)0,4解析：选A因为Ax|13x81x|303x34x|0x4，Bx|log2(x2x)1x|x2x2x|x2，所以ABx|0x4x|x2x|20，则AB为()Ax|0x2Bx|12解析：选D因为Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|12，故选D.全国卷5年真题集中演练明规律 1(xx全国卷)已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则()AABx|x1DAB解析：选A集合Ax|x1，Bx|x0，ABx|x0，ABx|x1，故选A.2(xx全国卷)设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B()A1，3B1,0 C1,3D1,5解析：选C因为AB1，所以1B，所以1是方程x24xm0的根，所以14m0，m3，方程为x24x30，解得x1或x3，所以B1,33(xx全国卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3B2 C1D0解析：选B因为A表示圆x2y21上的点的集合，B表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆x2y21有两个交点，所以AB中元素的个数为2.4(xx全国卷)设集合Ax|x24x30，则AB()A.B.C.D.解析：选Dx24x30，1x3，Ax|1x0，x，B.ABx|1x3.5(xx全国卷)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则AB()A1B1,2C0,1,2,3D1,0,1,2,3解析：选C因为Bx|(x1)(x2)0，xZx|1x2，xZ0,1，A1,2,3，所以AB0,1,2,36(xx全国卷)已知集合A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0，则AB()A1,0B0,1C1,0,1D0,1,2解析：选A由题意知Bx|2x2或x0，By|1y3，所以(UA)B(，0)1，)4设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ()Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x2Dx|2x3解析：选B由log2x1，得0x2，所以Px|0x2；由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|00，Qx|x2axb0若PQR，且PQ(2,3，则ab()A5B5C1D1解析：选APy|y2y20y|y2或y1由PQR及PQ(2,3，得Q1,3，所以a13，b13，即a2，b3，ab5，故选A.6(xx唐山统一考试)若全集UR，集合Ax|x25x60，Bx|2x1，则图中阴影部分表示的集合是()Ax|2x3Bx|1x0Cx|0x6Dx|x1解析：选C由x25x60，解得1x6，所以Ax|1x6由2x1，解得x0，所以Bx|x0又题图中阴影部分表示的集合为(UB)A，UBx|x0，所以(UB)Ax|0x0，Bx|xm若ABx|x4，则实数m的取值范围是()A(4,3)B3,4C(3,4)D(，4解析：选B集合Ax|x4，ABx|x4，3m4，故选B.8已知全集UxZ|0x8，集合M2,3,5，Nx|x28x120，则集合1,4,7为()AM(UN)BU(MN)CU(MN)D(UM)N解析：选C由已知得U1,2,3,4,5,6,7，N2,6，M(UN)2,3,51,3,4,5,73,5，MN2，U(MN)1,3,4,5,6,7，MN2,3,5,6，U(MN)1,4,7，(UM)N1,4,6,72,66，选C.大题综合练迁移贯通1已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解：由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)因为AB0,3，所以所以m2.(2)RBx|xm2，因为ARB，所以m23或m25或m3.因此实数m的取值范围是(，3)(5，)2已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m(1)当m1时，求AB；(2)若AB，求实数m的取值范围；(3)若AB，求实数m的取值范围解：(1)当m1时，Bx|2x2，则ABx|2x1(1)分别求AB，(RB)A；(2)已知集合Cx|1x1，即log2xlog22，x2，Bx|x2ABx|2x3RBx|x2，(RB)Ax|x3(2)由(1)知Ax|1x3，CA.当C为空集时，满足CA，a1；当C为非空集合时，可得1a3.综上所述，a3.实数a的取值范围是a|a3.第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点：1.命题及其关系；2.充分条件与必要条件.突破点(一)命题及其关系 1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系1判断题(1)“x22x31，则x0”的否命题是_答案：若x1，则x0(3)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_答案：若方程x2xm0没有实根，则m0(4)有下列几个命题：“若ab，则”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_解析：原命题的否命题为“若ab，则”，假命题原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，真命题原命题为真命题，故逆否命题为真命题答案：命题的真假判断例1下列命题中为真命题的是()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2解析取x1，排除B；取xy1，排除C；取x2，y1，排除D.答案A方法技巧判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可四种命题的关系由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题例2(1)(xx西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A逆命题B否命题C逆否命题D否定(2)原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假解析(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题(2)原命题即“若an1an，nN*，则an为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若an为递减数列，nN*，则an1an”为真命题，所以否命题也为真命题答案(1)B(2)A方法技巧1写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式(2)若命题有大前提，需保留大前提2判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假1.下列命题中为真命题的是()Amx22x10是一元二次方程B抛物线yax22x1与x轴至少有一个交点C互相包含的两个集合相等D空集是任何集合的真子集解析：选CA中，当m0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当44a0，即a1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题2.(xx河北承德模拟)已知命题：如果x3，那么x1”是“0，yR，则“xy”是“x|y|”成立的_条件答案：必要不充分(3)在ABC中，AB是tan Atan B的_条件答案：充要(4)设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_条件，r是t的_条件(用“充分”“必要”“充要”填空)解析：由题知pqst，又tr，rq，故p是t的充分条件，r是t的充要条件答案：充分充要充分条件与必要条件的判断例1(1)(xx浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(xx北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0S4S62S5.(2)mn，mnnn|n|2.当0，n0时，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线故“存在负数，使得mn”是“mn1”是“log2(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B由log2(x1)0得0x11，即1x1”是“log2(x1)k”是“1”的充分不必要条件，则k的取值范围是()A2，)B1，)C(2，)D(，1解析：选A由1，得10，解得x2.因为“xk”是“1”的充分不必要条件，所以k2.3.(xx天津高考)设R，则“”是“sin ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A法一：由，得0，故sin .由sin ，得2k2k，kZ，推不出“”故“”是“sin ”的充分而不必要条件法二：0sin ，而当sin .故“”是“sin 0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_解析：法一：由2，得2x10，綈p：Ax|x10或x0)，得1mx1m(m0)，綈q：Bx|x1m或x0綈p是綈q的必要不充分条件，BA解得m9.法二：綈p是綈q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件由x22x1m20(m0)，得1mx1m(m0)q：Qx|1mx1m，m0又由2，得2x10，p：Px|2x10PQ解得m9. 答案：9，)全国卷5年真题集中演练明规律 1(xx全国卷)函数f(x) 在xx0 处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则()Ap 是q 的充分必要条件 Bp是 q的充分条件，但不是q 的必要条件Cp是 q的必要条件，但不是q 的充分条件Dp 既不是q 的充分条件，也不是 q的必要条件解析：选C设f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是单调增函数，在x0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题故选C.2(xx全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析：选B设复数zabi(a，bR)，对于p1，R，b0，zR，p1是真命题；对于p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0或b0，p2不是真命题；对于p3，设z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取z112i，z212i，z12，p3不是真命题；对于p4，zabiR，b0，abiaR，p4是真命题. 课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)命题及其关系1命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数解析：选C由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.2命题“若ABC有一内角为，则ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命题解析：选D原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”，它是真命题3在命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是()A都真B都假C否命题真D逆否命题真解析：选D对于原命题：“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题故选D.4(xx德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是_若x0，则x2；命题：若x21，则x1或x1的逆否命题为：若x1且x1，则x21；“a1”是“直线xay0与直线xay0互相垂直”的充要条件；命题“若x0”的否命题为“若x1，则x22x30”解析：当x1，且n1Bmn0，且n0Dm0，且n0，0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mnlog2b”是“2ab1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选Alog2alog2bab0,2ab1ab，所以“log2alog2b”是“2ab1”的充分不必要条件故选A.4(xx重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f(x)，则“f(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选Bf(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)(x)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)为偶函数；反之，若f(x)为偶函数，如f(x)3x2，f(x)x31满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件故选B.5(xx山西怀仁一中期中)命题“x1,2)，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()Aa4Ba4Ca1Da1解析：选Bx2a0ax2.因为x21,4)，所以a4.故a4是已知命题的一个充分不必要条件故选B.6(xx广东梅州质检)已知命题p：“方程x24xa0有实根”，且綈p为真命题的充分不必要条件为a3m1，则实数m的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1)D(0,1)解析：选B命题p：“方程x24xa0有实根”为真时，164a0，a4.綈p为真命题时，a4.又綈p为真命题的充分不必要条件为a3m1，(3m1，)是(4，)的真子集，3m14，解得m1，故选B.7(xx福建闽侯二中期中)设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_解析：由|4x3|1，得x1；由x2(2a1)xa(a1)0，得axa1.綈p是綈q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件a，a1a.且a11，两个等号不能同时成立，解得0a.实数a的取值范围是.答案：大题综合练迁移贯通1写出命题“已知a，bR，若关于x的不等式x2axb0有非空解集，则a24b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解：(1)逆命题：已知a，bR，若a24b，则关于x的不等式x2axb0有非空解集，为真命题(2)否命题：