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2019-2020年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练一、选择题1下列命题中正确的是()Ayx的最小值是2By23x(x0)的最大值是24Cysin2x的最小值是4Dy23x(x0)的最小值是24【解析】A不正确，如取x1，则y2.B正确，因为y23x22224.当且仅当3x，即x时等号成立C不正确，令sin2xt，则0t1，所以g(t)t，显然g(t)在(0,1上单调递减，故g(t)ming(1)145.D不正确，x0，x0y23x224.当且仅当3x，即x时等号成立【答案】B2(xx宁德模拟)关于x的不等式x24ax3a20(a0)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是()A.B.C. D.【解析】依题意可得x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，故x1x2的最小值为.故选C.【答案】C3已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A4B16 C9D3【解析】因为a0，b0，所以由0恒成立得m(3ab)10恒成立因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.【答案】B4(xx福建高考)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80元B120元C160元D240元【解析】由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是m，又设总造价是y元，则y204108020160，当且仅当2x，即x2时取得等号【答案】C5设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0B1 C.D3【解析】1，当且仅当x2y时成立，因此z4y26y24y22y2，所以211.【答案】B二、填空题6(xx商丘模拟)已知x，y(0，)，2x3y，若(m0)的最小值为3，则m的值为 【解析】由2x3y得xy3，则(xy)(1m2)，(1m2)3，即(1)29，解得m4.【答案】47(xx衡水模拟)当a0且a1时，函数f(x)loga(x1)1的图象恒过点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值为 【解析】由题意可得：点A的坐标为(2,1)，所以2mn1，所以4m2n22m2n222.【答案】28(xx山东高考)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为 【解析】因为xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立【答案】三、解答题9设f(x)(x0)(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)b23b.【解】(1)f(x)2，当且仅当x，即x2时，等号成立，所以f(x)的最大值为2.(2)证明：b23b23，当b时，b23b有最小值3.由(1)知，f(a)有最大值2，对任意实数a，b，恒有f(a)b23b.10某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图641所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价【解】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米总造价f(x)4002482x801621 296x12 9601 29612 9601 296212 96038 880(元)，当且仅当x(x0)，即x10时取等号当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元(2)由限制条件知x16.设g(x)x，g(x)在上是增函数，当x时，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 29612 96038 882(元)当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元1设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2 B. C1D.【解析】由axby3，得xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.故选C.【答案】C2(xx山东高考)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A5B4 C.D2【解析】法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示由解得所以zaxby在A(2,1)处取得最小值，故2ab2，a2b2a2(22a)2(a4)244.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线xy10与2xy30的交点(2,1)时取得最小值，所以有2ab2.又因为a2b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2ab20的距离时最小，所以的最小值是2，所以a2b2的最小值是4.故选B.【答案】B3(xx青岛二模)设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值是 【解析】(a1,1)，(b1,2)，A，B，C三点共线，与共线，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，(2ab)4448，当且仅当，即b2a时等号成立【答案】84设ab2，b0，则的最小值为 【解析】当a0时，；当a0时，1.综上所述，的最小值是.【答案】5已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值【解】(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg (xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.6(xx石家庄模拟)如图642，有一块边长为1(单位：百米) 的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设PAB，tan t. 图642(1)用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？【解】(1)由tan t，得BPt(0t1)，可得CP1t.DAQ45，DQtan(45)，CQ1，PQ，CPQ的周长lCPPQCQ1t2为定值(2)SS正方形ABCDSABPSADQ122，当且仅当t1，即t1时等号成立探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为(2)平方百米
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