2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角函数学案理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角函数学案理本节主要包括3个知识点：1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.突破点(一)角的概念 1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类角的分类3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ1判断题(1)第二象限角大于第一象限角()(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角()(3)终边在yx上的角构成的集合可表示为.()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)719是第_象限角，719是第_象限角答案：四一(2)所有与60终边相同的角构成的集合为_答案：|60k360，kZ角的有关概念(1)要使角与角的终边相同，应使角为角与的偶数倍(不是整数倍)的和(2)注意锐角(集合为|090)与第一象限角(集合为|k36090k360，kZ)的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角典例(1)给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个D4个(2)若是第二象限角，则一定不是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(3)在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析(1)是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确(2)2k2k，kZ，kZ.若k3n(nZ)，是第一象限角；若k3n1(nZ)，是第二象限角；若k3n2(nZ)，是第四象限角故选C.(3)所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.答案(1)C(2)C(3)675或315方法技巧确定(n2，nN*)终边位置的方法步骤讨论法(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)写出的范围；(3)根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置等分象限角法已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第几象限角(1)等分：将每个象限分成n等份；(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；(3)选答：出现数字m的区域，即为的终边所在的象限1若k360，m360(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称解析：选C角与终边相同，与终边相同又角与的终边关于x轴对称角与的终边关于x轴对称2集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样比较各选项，可知选C.3若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析：选C是第二象限角，2k2k，kZ，k0，则在第一象限内()(3)0，则sin ”、“”或“”)sin _cos ；sin _cos ；sin _tan .答案：三角函数值的符号例1(1)若sin tan 0，且0，cos 30，故sin 2cos 3tan 41，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选B由已知得(sin cos )21，即12sin cos 1，sin cos cos ，所以sin 0cos ，所以角的终边在第二象限2.(xx南昌二中模拟)已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin ()Asin 2Bsin 2 Ccos 2Dcos 2解析：选D因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 2.3.在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角的终边上，点N(2m，4)在角的终边上，则m()A6或1B1或6C6D1解析：选A由题意得，tan ，tan，m6或1，故选A.4.(xx湖北百所重点校联考)已知角的终边经过点P(x,3)(x0)且cos x，则x()A1B C3D解析：选A由题意，得x，故x2910，解得x1.因为x0，所以x1，故选A. 课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)角的概念1设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角解析：由角是第三象限角，知2k2k(kZ)，则kk(kZ)，故是第二或第四象限角由sin知sin0，所以只能是第四象限角答案：四2与2 019的终边相同，且在0360内的角是_解析：2 0192195360，在0360内终边与2 019的终边相同的角是219.答案：2193已知是第二象限的角，则180是第_象限的角解析：由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ)，则180(180k360)180180(90k360)(kZ)，即k36018090k360(kZ)，所以180是第一象限的角答案：一对点练(二)弧度制及其应用1(xx江西鹰潭期中)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是_解析：一个周角是2，因此分针10分钟转过的角的弧度数为2.答案：2(xx山东泰安月考)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(00时，cos ；当t0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.2已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长AB2sin 124sin 1.3已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断 tansin cos的符号解：(1)由sin 0，知在第三、四象限或y轴的非正半轴上；由tan 0, 知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan 0，sin 0, cos 0，所以tan sin cos取正号；当在第四象限时， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正号因此，tansin cos 取正号第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式本节主要包括2个知识点：1.同角三角函数的基本关系；2.三角函数的诱导公式.突破点(一)同角三角函数的基本关系 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan .2同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)(sin cos )22sin cos tan表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin cos )212sin cos 进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 1判断题(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()答案：(1)(2)2填空题(1)已知，sin ，则tan _.解析：，sin ，cos ，tan .答案：(2)若cos ，则tan _.解析：由已知得sin ，所以tan 2.答案：2(3)已知tan 2，则的值为_解析：原式3.答案：3“知一求二”问题利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的例1(1)已知cos k，kR，则sin()()AB.CDk(2)(xx厦门质检)若，sin ()，则tan ()AB. CD.解析(1)由cos k，得sin ，sin()sin ，故选A.(2)，sin ，cos ，tan .答案(1)A(2)C易错提醒知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号知切求f(sin 、cos )值问题若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型例2(xx安徽江南十校联考)已知tan ，则sin (sin cos )()A.B. C.D.解析sin (sin cos )sin2sin cos ，将tan 代入，得原式，故选A.答案Asin cos 与sin cos 关系的应用例3已知x(，0)，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.由x(，0)，知sin x0，cos x0，则sin xcos x0，故sin xcos x.(2).方法技巧同角三角函数关系式的方程思想对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令sin cos t，则sin cos ，sin cos (注意根据的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用1.若，sin ，则cos()()AB. C.D解析：选B因为，sin ，所以，cos ，则cos().2.(xx河北衡水中学月考)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2()AB. CD.解析：选Dsin2sin cos 2cos2，把tan 2代入得，原式.故选D.3.(xx山东济南二模)已知sin cos ，0，则tan ()AB C.D.解析：选A将sin cos ，左右两边平方，得12sin cos ，即2sin cos 0，cos 0，(sin cos )212sin cos ，sin cos ，联立解得sin ，cos ，则tan .4.(xx厦门质检)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()AB. CD.解析：选B，cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .5.已知tan ，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin22sin cos 的值解：(1).(2).(3)sin22sin cos .突破点(二)三角函数的诱导公式 组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_1判断题(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化()答案：(1)(2)2填空题(1)如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin A.cossin A.答案：(2)已知tan，则tan_.解析：tantantantan.答案：(3)化简：_.解析：cos .答案：cos 诱导公式的应用1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值典例(1)若f(x)tan x，则f的值为()A.B. CD(2)(xx山东烟台期中)若sin，则cos()AB C.D.解析(1)由题意得f(x)tan xtan xtan xtan x，则f，故选A.(2)coscoscos12sin2.故选A.答案(1)A(2)A方法技巧应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值问题要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错1(xx唐山一模)已知sin，那么tan 的值为()AB CD解析：选Csin化为cos ，那么sin ，tan ，故选C.2已知atan，bcos ，csin，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCbcaDacb解析：选B由已知，atantan ，bcoscos ，csinsin ，因而bac.3(xx广东韶关六校联考)已知，且cos ，则()A.BC.D解析：选C，且cos ，sin ，则.4已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1 C2，2D1，1,0,2，2解析：选Ck为偶数时，A2；k为奇数时，A2.则A的值构成的集合为2，25已知tan，则tan_.解析：tantantantan.答案：全国卷5年真题集中演练明规律 1(xx全国卷)已知sin cos ，则sin 2()AB C.D.解析：选A将sin cos 的两边进行平方，得sin2 2sin cos cos2，即sin 2.2(xx全国卷)若tan ，则cos22sin 2()A.B. C1D.解析：选A因为tan ，则cos22sin 2.故选A.3(xx全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos .则tantan.答案： 课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)同角三角函数的基本关系1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为()A.B C.D解析：选D因为为第四象限角，故cos ，所以tan .2(xx绵阳诊断)已知2sin 1cos ，则tan 的值为()AB. C或0D.或0解析：选D由2sin 1cos 得sin 0，且4sin212cos cos2，因而5cos22cos 30，解得cos 或cos 1，那么tan 或0，故选D.3若sin cos ，则tan ()A.B C.D解析：选D由sin cos ，得12sin cos ，即sin cos ，则tan ，故选D.4(xx湖南衡阳二模)已知且sin cos a，其中a(0,1)，则tan 的可能取值是()A3B3或CD3或解析：选Csin cos a，两边平方可得2sin cos a21，由a(0,1)得sin cos 0，sin 0知|sin |0，则cos ，.答案：7(xx 湖北黄冈中学检测)已知R，sin24sin cos 4cos2，则tan _.解析：sin24sin cos 4cos2，3tan28tan 30，解得tan 3或.答案：3或对点练(二)三角函数的诱导公式1(xx广州模拟)已知sin()cos(2)，|，则()AB C.D.解析：选Dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|0，为第一或第二象限角当为第一象限角时，cos ，则原式；当为第二象限角时，cos ，则原式.2已知为第三象限角，f().(1)化简f()；(2)若cos，求f()的值解：(1)f()cos .(2)cos，sin ，从而sin .又为第三象限角，cos ，f()cos .3(xx山西孝义二模)已知sin(3)2sin，求下列各式的值(1)；(2)sin2sin 2.解：sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos .(1)原式.(2)sin 2cos ，tan 2，原式.第三节 三角函数的图象与性质本节主要包括2个知识点：1.三角函数的定义域和值域；2.三角函数的性质.突破点(一)三角函数的定义域和值域 三角函数正弦函数ysin x余弦函数ycos x正切函数ytan x图象定义域RR值域1,11,1R最值当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值11判断题(1)函数ysin x在x内的最大值为1.()(2)函数ytan的定义域为x.()(3)函数y的定义域为x，kZ.()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)函数ytan的定义域为_答案：xk，kZ(2)函数yln的定义域为_答案：，kZ(3)函数y2cos x3在x的值域为_答案：3，1三角函数的定义域例1函数ylg(2sin x1)的定义域是_解析要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx2k，kZ.即函数的定义域为，kZ.答案，kZ方法技巧三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解提醒解三角不等式时要注意周期，且kZ不可以忽略三角函数的值域(最值)例2(1)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2B0 C1D1(2)(xx广东惠州一模)函数ycos 2x2sin x的最大值为()A.B1 C.D2解析(1)0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.(2)ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1.设tsin x，则1t1，所以原函数可以化为y2t22t122，所以当t时，函数y取得最大值为.故选C.答案(1)A(2)C方法技巧 三角函数值域或最值的三种求法直接法形如yasin xk或yacos xk的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出化一法形如yasin xbcos xk的三角函数，化为yAsin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法形如yasin2xbsin xk的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)1.函数y 的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)D(，)解析：选C要使函数有意义，则cos x0，即cos x，解得2kx2k，kZ.2.函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：由得3x或0x0)的最小正周期为，则_.答案：2(2)若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则_.解析：由已知f(x)sin是偶函数，可得k，即3k(kZ)，又0,2，所以.答案：(3)函数f(x)2cos(x)(0)对任意x都有ff，则f等于_解析：由ff可知函数图象关于直线x对称，则在x处取得最值，f2.答案：2(4)函数ytan的单调递减区间为_解析：因为ytan x的单调递增区间为(kZ)，所以由k2xk，得x0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析(1)f(x)cos 2xacos12sin2xasin x在上是增函数，ysin x在上单调递增且sin x.令tsin x，t，则y2t2at1在上单调递增，则1，因而a(，4(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.答案(1)D(2)方法技巧 已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解三角函数的周期性例3(1)(xx山西运城二模)函数y|tan(2x)|的最小正周期是()A2B C.D.(2)(xx山东高考)函数f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()A.B C.D2解析(1)结合图象及周期公式知T.(2)法一：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)44sincos2sin，T.法二：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)3sin xcos xcos2xsin2xsin xcos xsin 2xcos 2x2sin，T.故选B.答案(1)C(2)B方法技巧 三角函数周期的求解方法公式法(1)三角函数ysin x，ycos x，ytan x的最小正周期分别为2，2，；(2)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为图象法利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期三角函数的奇偶性例4已知函数f(x)sin(x) cos(x)是偶函数，则的值为()A0B. C.D.解析据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kZ)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意答案B方法技巧与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式常见的结论有：(1)若yAsin(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(2)若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(3)若yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)三角函数的对称性(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“x