2019-2020年高考数学 第七节 指数函数教材.doc

2019-2020年高考数学 第七节 指数函数教材教 材 面 面 观1指数(1)根式根式的定义：如果_，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数.叫做根式，这里n叫做_，a叫做_；根式的性质：()当n为奇数时，有a；当n为偶数时，有_.()_没有偶次方根；()零的任何次方根都是_(2)指数幂的有关概念正整数指数幂：_aa (nN*)；零指数幂：a0_；负整数指数幂：ap_；正分数指数幂：a_；负分数指数幂：a_；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂_(3)有理指数幂的性质aras_(a0，r、sQ)；(ar)s_(a0，r、sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)答案xna根指数被开方数|a|负数0an1(a0)(a0，m、nN*，且n1)(a0，m、nN*，且n1)没有意义arsarsarbr2指数函数的图象与性质定义_叫做指数函数定义域_值域_图象性质(1)_(2)图象经过_点(3)a1，当_时，y1；当_时，0y1.0a1，当_时，0y1；当_时，y1.(4)a1，yax为增函数，0a1，yax为_(5)_(填奇偶性)答案yax(a0，a1的常数)(，)(0，)y0(0,1)x0x0x0x0减函数非奇非偶函数3指数方程在指数里含有未知数的方程叫做指数方程指数方程的可解类型，可分为(1)形如af(x)ag(x)(a0，a1)的方程，化为_求解(2)形如af(x)bg(x)(a0，b0，a1，b1)的方程，通过两边_求解(3)形如a2xbaxc0的方程，用_求解答案f(x)g(x)取对数换元法考 点 串 串 讲1指数(1)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数根式的性质：n为任意正整数，()na；当n为奇数时，a；当n为偶数时|a|.(2)分数指数幂正分数指数幂的意义是：a(a0，m、nN*，且n1)负分数指数幂的意义是：a(a0，m、nN*，且n1)(3)指数的运算amanamn(a0)；(am)namn(a0)；(ab)mambm(a0，b0)；amanamn(a0)；()n(a0，b0)2指数函数的定义、图象与性质(1)定义一般地，函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意在指数函数yax(a0且a1)中，幂指数x是自变量，幂底数为常数，且这个常数大于0，不等于1.如y2x，y()x，y()x都是指数函数，而像y()x，y1x，y2x1，yx4，y4x，这些都不是指数函数因为对于y()x，比如当x取(nN)这些值时，这个式子就没有意义了而对于y1x，无论x为何值，y1x1，这个函数没有研究的必要，再说这个函数是多值对应的，如果让它加盟到指数函数中来将破坏指数函数的统一单调性，因此干脆将a1这种情况排除，所以限定a0且a1.对于y2x1，虽然幂的底数是一个大于0且不等于1的常数，但指数是x1，不是x.而yx4是幂函数而不是指数函数，y4x是1与指数函数4x的乘积，所以它不是指数函数(2)图象与性质一般地，指数函数yax(a0，且a1)在底数a1及0a1两种情况下的图象与性质如下表所示：a10a1图象性质(1)定义域：R(2)值域：R(3)过点(0,1)(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数说明：从图象上还可以看出：若a1，则当x时，y；当x时，y0；当x0时，y1；当x0时，0y1；当x0时，y1.若0a1，则当x时，y0；当x时，y；当x0时，0y1；当x0时，y1；当x0时，y1.指数函数的图象都在x轴的上方，而且当a1时，随着底数a值的增大，函数yax的图象从左到右越来越陡峭；当0a1时，随着底数a值的增大，函数yax的图象从左到右，越来越平坦如图所示典 例 对 对 碰题型一 运用指数运算性质计算、化简例1化简：解析(1)x1(x1)(xx1)，x1(x1)(xx1)，xxx (x1)(x1)，原式x1xx1x (x1)x. 点评这里着重选择了立方和、立方差公式在分数指数幂中的应用，化简时应把分数指数幂、负指数幂看作一个整体，这样就可以使用有理式中的一切乘法及因式分解的公式.变式迁移1化简下列各式：题型二 指数函数的单调性例2求函数y()|12x|x2|的单调区间分析应注意两点：(1)因为变元在指数位置，所以要注意底数数值；(2)因为函数解析式中含有绝对值符号，所以要分段讨论解析(1)当x时，y()12xx2()13x23x18x，函数在(，)上为增函数(2)当x2时，y()12xx2()3x23x()x，函数在，2)上为减函数(3)当x2时，y()12xx2()3x1213x2()x，函数在2，)为减函数又x1，2)，x22，)时，2()x2()x1223x2232x1213x223x1.又13x2(3x1)43x2x14x13x20，13x23x1.213x223x1，即2()x2()x1.所以函数f(x)在区间(，)上单调递增，而在区间，)上单调递减.变式迁移2求下列函数的单调递增区间(1)y()6x2x2；(2)y2x2x6.解析(1)函数的定义域为R.令u6x2x2，则y()u.二次函数u6x2x2的对称轴为x，在区间，)上u6x2x2是减函数又函数y()u是减函数函数y()6x2x2在区间，)上是增函数(2)令tx2x6，则y2t.二次函数tx2x6的对称轴是x，在区间，)上tx2x6是增函数又函数y2t为增函数函数y2x2x6在区间，)上是增函数.题型三 与指数函数有关的定义域和值域问题例3求下列函数的定义域和值域：(1)y()2xx2；(2)y分析由于指数函数yax(a0且a1)的定义域是R，所以函数yaf(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域解析(1)显然定义域为R.2xx2(x1)211，且y()x为减函数()2xx2()1.故函数y()2xx2的值域为，)(2)由32x10，得：32x132，y3x为增函数，2x12，即x，此函数的定义域为，)，由上可知32x10，y0.即函数的值域为0，).变式迁移3求下列函数的值域：(1)y10；(2)y.解析(1)由|x|x0，可知x0，且0.又函数y10x是增函数，函数y10的值域为(1，)(2)令t2x，则t0.又ut26t10在(0，)递增，u10，y.故所求的值域为(，).题型四 与指数函数图象有关的问题例4当a2时，函数yax和y(a1)x2的图象只能是图中的()解析a2，指数函数yax是增函数，二次函数y(a1)x2开口向上故选A.答案A变式迁移4函数yax(b1)(a0，且a1)的图象在第一、三、四象限，则必有()A0a1，b0B0a1，b0Ca1，b1 Da1，b0答案D解析由函数图象的大致形状，可知a1，b11，即a1，b0.题型五 指数函数的综合应用例5已知函数f(x)()x3(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立分析因为x3对任意xR都有意义，且其单调性和奇偶性很显然，所以解决该题的关键是讨论的性质解析(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函数f(x)的定义域为x|x0(2)对于定义域内任意x，有f(x)()(x)3()(x)3(1)(x)3()x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x30，x3()0，即当x0时，f(x)0.又由(2)，f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，当x0时，x0，有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立当0a1时，f(x).当x0时，1ax0，ax10，ax10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1.点评(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(x)f(x)，来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法.变式迁移5已知f(log2x)，(1)求出yf(x)的解析式；(2)写出yf(x)的单调区间；(3)讨论f(x)与f(x1)的大小解析(1)设tlog2x，则x2t，f(t)|2t1|，故f(x)|2x1|.(2)f(x)|2x1|f(x)在0，)上为增函数，在(，0上为减函数(3)当x0时，x1x0，由f(x)的增函数性质知f(x1)f(x)；当x10，即x1.由xx10且由f(x)的减函数性质知f(x1)f(x)当1x0时，f(x1)f(x)(2x11)(12x)32x2.1xlog2时，32x20f(x1)f(x)；xlog2时，32x20f(x1)f(x)；log2x0时，32x20f(x1)f(x)综上所述：当log2x0时，f(x1)f(x)；当xlog2时，f(x1)f(x)；当1xlog2时，f(x1)f(x)【教师备课资源】题型六 整体代换思想在指数式运算中的应用例6若xx3，求的值分析先由已知求得x再代入所求式子，可以求出值，但较为麻烦，能否不求x，利用整体代换呢？观察所求式子的特点，可由已知两边平方，三次方求出所求式子分母、分子的值解析由xx3，两边平方得xx17，再平方得x2x247.x2x2245.由xx3，两边立方得27. 即315.原式.变式迁移6设x3x32，求x的值解析设xt，则t323t.即t33t20，(t1)(t2t2)0，(t1)2(t2)0.x3与x同号，x0，故x2.题型七 含参数的指数函数问题例7已知函数f(x)3x，且f(a2)18，g(x)3ax4x的定义域为区间1,1(1)求g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)m有解，求m的取值范围解析(1)f(a2)18，f(x)3x.3a218，即3a2.故g(x)(3a)x4x2x4x，x1,1(2)g(x)(2x)22x(2x)2.当x1,1时，2x，2，令t2x.由二次函数单调性(t)2在，2上是减函数函数g(x)在1,1上是减函数(3)由(2)知t2x，2，则方程g(x)m有解方程2x4xm在1,1内有解mtt2(t)2，t，2m的取值范围是2，.变式迁移7设a0，且a1，如果函数ya2x2ax1在1,1上的最大值为14，求a的值解析ya2x2ax1(ax1)22.由x1,1知：当a1时，axa1，a显然当axa，取x1时，ymax(a1)22.(a1)2214，即a3(a5舍去)如果0a1，则由x1,1，得axa，显然ax，即x1时，ymax(1)22.(1)2214，a(a舍去)综上所述：a或a3.方 法 路 路 通1比较两个幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题解决这类问题，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可采用指数函数的单调性；如果指数相同，可利用幂函数的单调性；如果底数和指数都不相同，则要引入中间量来比较2指数函数yax(a0，a1)是单调函数，复合函数yau(其中u是关于x的函数u(x)的单调性，由yau和uu(x)的单调性综合确定利用指数函数的单调性，可以处理有关指数式的比较大小问题；以及某些最简指数方程(不等式)的求解3对于指数函数yax的有界性是指ax0，也就是说其值域为(0，)4与指数函数yax密切相关的函数y(axax)，y(axax)的单调性、奇偶性经常出现于各种习题中，请注意归纳和总结.正 误 题 题 辨例关于x的方程()x有负根，求a的取值范围错解错解一：()x有负根，0，或解之得a5或a.错解二：()x有负根，x0.x0，()x()x0不等式0与或等价，解之得a5.点击错解一中错把当成方程的根令0，得到的结果肯定是错误的；错解二中根据方程有负根的条件得出x0是对的以后变换进行到()x，就是把底数小于1的指数函数转换成了底数大于1的指数函数，从而发生了根本性的变化，继而得出不正确的结果在指数函数中底数对函数的影响极大，不加分析地进行这种转换本身就是一个错误正解y()x的定义域为xR，由于()x有负数根，要求在定义域(，0)上，求方程的解，此时，01.应有1，这个不等式转化为10，即0这个不等式与或等价，解之得a5.