2019-2020年高中数学函数的单调性教案苏教版必修1.doc

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2019-2020年高中数学函数的单调性教案苏教版必修1教学目标:使学生理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法,培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合,辩证思维的能力;通过本节课的教学,启示学生养成细心观察,认真分析,严谨论证的良好思维习惯.教学重点:函数单调性的概念教学难点:函数单调性的判断和证明.教学过程:.复习回顾师前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念,讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).讲授新课师在初中我们已经学习了函数图象的画法,为了研究函数的性质,按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出yx2和yx3的图象如图.我们先着重来观察一下yx2的图象,图象在y轴右侧的部分是上升的,也就是说在y轴右侧越往右,图象上的点越高,这说明什么问题呢?生随着x的增加,y的值在增加师怎样用数学语言来表示呢?生设x1、x20,)得y1f(x1),y2f(x2)当x1x2时,f(x1)f(x2)(学生经过预习可能答得很准确,但为什么也许还囫囵吞枣;或许答得不一定完整,或许怎样用数学语言来表示还感到困惑,教师应抓住时机予以启发)师好,同学的回答很好,设x1、x20,),体现了在y轴右侧,按照函数关系式得到了y1f(x1),y2f(x2),即有了两个点(x1,y1)、(x2,y2)而当x1x2时,f(x1)f(x2),则体现了越往右图象上的点越高,即体现了图象是上升的,这时我们说yx2在0,)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?生甲图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).师何以见得?生甲越往左,图象上的点越高.师生甲所谈对不对呢?生对(部分同学这样说,还有部分同学不吭气,感到和预习时的情况不一样,但又不清楚究竟该怎样,有无所适从之感).师生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意:他观察的视线是从右向左看的,为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看,图象的情形是怎样的呢?生甲从左向右看,图象是下降的,也就是在y轴的左侧,越往右,图象上的点越低.师我们研究任何问题都要遵循一定的程序,都要在一定的条件下,否则将一塌糊涂,搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时,就直载了当地指出随着x的增加,图象的变化趋势是怎样的,这样给学生指定观察方向,会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下,在y轴的左侧,越往右,图象上的点越低,说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?生在y轴右侧,越往右图象上的点越低,说明随着x的增加,y的值在减小,用数学语言表示是:设x1、x2(,0)得y1f(x1),y2f(x2)当x1x2时,f(x1)f(x2)师好,这时我们说yx2在(,0)上是减函数.一般地,设函数f(x)的定义域为:如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片2.3.1C)如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数yf(x)在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做yf(x)的单调区间,在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.注意:函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念.判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:a.设x1、x2给定区间,且x1x2b.计算f(x1)f(x2)至最简b.判断上述差的符号d.下结论(若差0,则为增函数;若差0,则为减函数).例题分析例1(课本P34例1,与学生一块看,一起分析作答)师要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法,严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明例2证明函数f(x)3x2在R上是增函数.证明:设任意x1、x2R,且x1x2则f(x1)f(x2)(3x12)(3x22)3(x1x2)由x1x2得x1x20f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2)f(x)3x2在R上是增函数例3证明函数f(x)在(0,)上是减函数.证明:设任意x1、x2(0,)且x1x2则f(x1)f(x2)由x1,x2(0,)得x1x20又x1x2 得x2x10f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2)f(x)在(0,)上是减函数注意:通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法.课堂练习课本P37练习1,2,5,6,7.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单调性是对某个区间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断和证明.课后作业课本P43习题 14函数的单调性(二)教学目标:使学生理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法,培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合,辩证思维的能力;通过本节课的教学,启示学生养成细心观察,认真分析,严谨论证的良好思维习惯.教学重点:函数单调性的判断和证明.教学难点:函数单调性的判断和证明.教学过程:例1已知函数f(x)在其定义域M内为减函数,且f(x)0,则g(x)1在M内为增函数。证明:在定义域M内任取x 1、x 2,且x 1x 2,则: g(x 1)g(x 2)11对于任意xM,有f(x)0 f(x1)f(x2)0f(x)在其定义域M内为减函数, f(x1)f(x2)g(x 1)g(x 2)0 即g(x 1)g(x 2)g(x)在M内为增函数例2函数f(x)在(0,)上是减函数,求f(a2a1)与f()的大小关系?解:f(x)在(0,)上是减函数a2a1(a)20f(a2a1)f()评述:体会“等价转化”思想的运用,注意解题时的层次分明和思路清晰.例3已知函数f(x)在区间(2,+)上单调递增,求a的取值范围。解:在区间(2,+)内任取x 1、x 2,使2x 1x 2,则: f(x 1)f(x 2) f(x 1)f(x 2) (2a1)(x1x2)0 而x 1x 2必须2a10 即a例4已知函数f(x)x22axa21在区间(,1)上是减函数,求a的取值范围。解:顶点横坐标为a,且开口向上 a1例5写出函数f(x)的单调区间。解:tx22x30 x1或x3当x(,1时:x递增,t递减,f(x)递减当x3,+)时:x递增,t递增,f(x)递增当x(,1时,f(x)是减函数;当x3,+)时,f(x)是增函数.例6判断函数f(x)的增减情况。解:设tx24x,则t4且t0 y 当t4,0时,y递减;当t0,+)时,y递减.又当x0,4时,t4,0当x(,0)或x(4,+)时,t0,+)当x(,0)时,x递增,t递减,y递增当x0,2时,x递增,t递减,y递增当x(2,4时,x递增,t递增,y递减当x(4,+)时,x递增,t递增,y递减当x(,0)0,2时,f(x)是增函数当x(2,4(4,+)时,f(x)是减函数例7已知f(x)的定义域为(0,),且在其定义域内为增函数,满足f(xy)f(x)f(y),f(2)1,试解不等式f(x)f(x2)3.解:由f(2)1及f(xy)f(x)f(y)可得3f(2)3f(2)f(2)f(2)f(4)f(2)f(8)f(x)f(x2)3 f(x)f(x2)3f(x2)f(8)f 8(x2)又函数f(x)在定义域(0,)上是增函数 即2x评述:(1)例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用,这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域,进而结合函数单调性去求不等式的解集.(2)建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即:在解题时必须时时考虑到.例8设f(x)定义在R+上,对于任意a、bR+,有f(ab)f(a)f(b)求证:(1)f(1)0;(2)f( )f(x);(3)若x(1,+)时,f(x)0,则f(x)在(1,+)上是减函数.证明:(1)令ab1,则:f(1)f(1)f(1) f(1)0(2)令ax,b,则:f(1)f(x) f( ) f( )f(x)(3)令1x 1x 2,则:f(x1)f(x2)f(x2)f( )f( )1x 1x 2 1 f( )0 即f(x1)f(x2) f(x)在(1,+)上是减函数.
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