2019-2020年高考数学三诊试卷（理科） 含解析.doc

2019-2020年高考数学三诊试卷（理科） 含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设U=R，若集合A=0，1，2，B=x|x22x30，则AUB=（）A0，1B0，2C1，2D0，1，22已知复数z满足z（1+i）=ixx，则|z|=（）A1BCD23已知a=30.6，b=log2，c=cos300，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCcabDcba4下列命题中真命题的个数为（）两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种命题p：xR，x22x10的否定为p：x0R，x022x010A0B1C2D35执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A2B3C4D56直线l：kxy+1=0被圆x2+y24y=0截得的最短弦长为（）AB3CD27已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A1B6C7D108已知f（x）=Asin（2x+），（A0，|），对任意x都有f（x）f（）=2，则g（x）=Acos（2x+）在区间0，上的最大值与最小值的乘积为（）ABC1D09在区间1，1内任取两个数x、y，记事件“x+y1”的概率为p1，事件“|xy|1”的概率为p2，事件“yx2”的概率为p3，则（）Ap1p2p3Bp2p3p1Cp1p3p2Dp3p2p110某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A2B4CD511已知双曲线C：=1（a0，b0），焦距为2c，若l1：y=（xc）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A（1，3）B（2，3）C（1，2）D（，3）12定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf（x）2成立，则使得x2f（x）4f（2）x24成立的x的范围为（）Ax|x2B（2，2）C（，2）（2，+）D（，2）（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知=（3，4），=（3，t），向量在方向上的投影为3，则t=_14已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于_15在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为_16ABC中，A=，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=_三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an+n4（nN*）（1）求an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项，证明：1Tn（nN*）18某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市ABCDE4S店个数x34652销量y（台）2829373125（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望（ =， =）19在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O（）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；（）求二面角A1B1CC1的余弦值20如图，已知椭圆C1： +y2=1，曲线C2：y=x21与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记MAB，MDE的面积分别为S1，S2，若=，求的取值范围21已知f（x）=（2a）x2（1+lnx）+a，g（x）=（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）若对任意给定的x0（0，e，在（0，e2上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围选修4-1：几何选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=4cos（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|选修4-5：不等式选讲24已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）xyxx重庆市巴蜀中学高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设U=R，若集合A=0，1，2，B=x|x22x30，则AUB=（）A0，1B0，2C1，2D0，1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：B=x|x22x30=x|x3或x1，则UB=x|1x3，则AUB=0，1，2，故选：D2已知复数z满足z（1+i）=ixx，则|z|=（）A1BCD2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z（1+i）=ixx，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案【解答】解：由z（1+i）=ixx，得=则|z|=故选：B3已知a=30.6，b=log2，c=cos300，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCcabDcba【考点】对数值大小的比较【分析】分别估算每个数的大小，然后比较【解答】解：a=30.61，b=log20，c=cos300=cos60=0.50，故bca；故选B4下列命题中真命题的个数为（）两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种命题p：xR，x22x10的否定为p：x0R，x022x010A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据相关性系数的性质进行判断，利用排列组合的公式进行求解即可根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故错误，从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数=354=31种，故正确，命题p：xR，x22x10的否定为p：x0R，x022x010，正确，故正确，故正确的是，故选：C5执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A2B3C4D5【考点】循环结构【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S2，退出循环体，求出此时的P值即可【解答】解：S=1，满足条件S2，则P=2，S=1+=满足条件S2，则P=3，S=1+=满足条件S2，则P=4，S=1+=不满足条件S2，退出循环体，此时P=4故选：C6直线l：kxy+1=0被圆x2+y24y=0截得的最短弦长为（）AB3CD2【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当lPC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可【解答】解：由x2+y24y=0得x2+（y2）2=4，圆心坐标是C（0，2），半径是2，直线l：kxy+1=0过定点P（0，1），且在圆内，当lPC时，直线l被圆x2+y24y=0截得的最短弦长为2=2，故选：A7已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A1B6C7D10【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，确定目标函数经过的点，利用几何意义求出目标函数的最大值，【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图：目标函数z=|3x+y|经过可行域内的点A时，z最大，可得A（3，1）时，取得最大值|33+1|=10故选：D8已知f（x）=Asin（2x+），（A0，|），对任意x都有f（x）f（）=2，则g（x）=Acos（2x+）在区间0，上的最大值与最小值的乘积为（）ABC1D0【考点】三角函数的最值【分析】求出f（x）的表达式，从而求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可【解答】解：f（x）=Asin（2x+），（A0，|），若对任意x都有f（x）f（）=2，则A=2，f（）=2sin（2+）=2，=，g（x）=2cos（2x+），x0，2x+，2x+=时，g（x）最大，最大值是，2x+=时，g（x）最小，最小值是2，故g（x）maxg（x）min=2，故选：A9在区间1，1内任取两个数x、y，记事件“x+y1”的概率为p1，事件“|xy|1”的概率为p2，事件“yx2”的概率为p3，则（）Ap1p2p3Bp2p3p1Cp1p3p2Dp3p2p1【考点】几何概型【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）则阴影部分的面积S1=4=，S2=42=3，S3=（）=，S3S2S1，即P3P2P1，故选：D10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A2B4CD5【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的表面积公式计算即可【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，ODAC，且OD平面SAC，SA=1，AC=2，SC的中点O为外接球的球心，半径R=，外接球的表面积S=4=5故选：D11已知双曲线C：=1（a0，b0），焦距为2c，若l1：y=（xc）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A（1，3）B（2，3）C（1，2）D（，3）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，焦点坐标F1（c，0），F2（c，0），则直线l1：y=（xc）过双曲线的右焦点F2（c，0），l2：y=2（x+c）过双曲线的左焦点F1（c，0），若l1：y=（xc）与C的左右两支交于一点，则直线的斜率满足l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则直线的斜率2满足2，即2，则离心率e=，2，3（）28，41+（）29，则23，即2e3，故离心率的取值范围是（2，3），故选：B12定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf（x）2成立，则使得x2f（x）4f（2）x24成立的x的范围为（）Ax|x2B（2，2）C（，2）（2，+）D（，2）（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可【解答】解：当x0时，由2f（x）+xf（x）2得2f（x）+xf（x）20可知：两边同乘以x得：2xf（x）x2f（x）2x0设g（x）=x2f（x）x2则g（x）=2xf（x）+x2f（x）2x0，恒成立：g（x）在（0，+）单调递减，由x2f（x）4f（2）x24x2f（x）x24f（2）4即g（x）g（2），f（x）是偶函数，g（x）=x2f（x）x2也是偶函数，则不等式g（x）g（2）等价为g（|x|）g（2），即|x|2；则x2或x2，即实数x的取值范围为（，2）（2，+），故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知=（3，4），=（3，t），向量在方向上的投影为3，则t=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据投影的定义即可求出【解答】解： =（3，4），=（3，t），=94t，|=5，向量在方向上的投影为3，=3，解得t=6，故答案为：614已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于729【考点】二项式系数的性质【分析】由（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，可得n=6令x=1，即可得出【解答】解：（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，n=6令x=1，可得：则其展开式各项系数之和=36=729故答案为：72915在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】取四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD1，DC1所成角的正弦值【解答】解：取四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，AB=BC=1，AA1=3，A（1，0，0），D1（0，0，3），D（0，0，0），C1（0，1，3），=（1，0，3），=（0，1，3），设直线AD1，DC1所成角为，cos=，sin=直线AD1，DC1所成角的正弦值为故答案为：16ABC中，A=，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=【考点】三角形中的几何计算【分析】在ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出BAD、ADB，在ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD【解答】解：如图所示：在ABC中，A=，AB=2，BC=，由正弦定理得，则sinC=，A是钝角，且0C，C=，则B=AC=，AD=BD，BAD=B=，则ADB=BBAD=，在ABD中，由正弦定理得，AD=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an+n4（nN*）（1）求an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项，证明：1Tn（nN*）【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）当n2时利用an=SnSn1计算可知an=2an11，进而可构造首项、公比均为2的等比数列an1，计算即得结论；（2）通过（1）放缩可知，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论【解答】（1）解：Sn=2an+n4，当n=1时，a1=3，当n2时，an=SnSn1=（2an+n4）（2an1+n5），即an=2an11，变形，得：an1=2（an11），数列an1是首项、公比均为2的等比数列，an1=2n，即an=1+2n；（2）证明：由（1）可知： =，当n2时，Tn1+=，又TnT1=1，1Tn（nN*）18某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市ABCDE4S店个数x34652销量y（台）2829373125（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望（ =， =）【考点】线性回归方程【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）X的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X的分布列和数学期望【解答】解：（1）由=4， =30，=2.7，=302.74=19.2，y关于x的回归方程为=2.7x+19.2，（2）X的可能取值0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，A城市中被选中的4S店个数X的分布列： X 0 1 2 3 PA城市中被选中的4S店个数X的期望E（X），E（X）=0+1+2+3=，E（X）=19在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O（）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；（）求二面角A1B1CC1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法【分析】（）连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，因为AA1BB1，所以，OEBB1，证明BCOE，可得结论，AE=；（）建立空间直角坐标系，求出平面B1CC1的一个法向量、平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A1B1CC1的余弦值【解答】解：（）证明：连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，因为AA1BB1，所以，OEBB1因为A1O平面ABC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1CC又AO=1，AA1=得AE=（）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，2，0），A1（0，0，2）由=，得点E的坐标是（，0，），由（）知平面B1CC1的一个法向量为=（，0，）设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得可取=（2，1，1），所以cos，=20如图，已知椭圆C1： +y2=1，曲线C2：y=x21与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记MAB，MDE的面积分别为S1，S2，若=，求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设过原点的直线l：y=tx，联立，得x2ty1=0，从而求出=0，由此能求出k1k2（2）设直线MA：y=k1x1，直线MB：y=x1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（，1），E（，），由此能求出的取值范围【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），E（x4，y4），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2ty1=0，=（x1，y1+1），=（x2，y2+1），=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=0，k1k2=1（2）设直线MA：y=k1x1，直线MB：y=x1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（，1），E（，），=（），=（，），=（，），=（，），S1=|，S2=|+|=，=（4k12+17）当且仅当，即k1=1时，取等号，的取值范围，+）21已知f（x）=（2a）x2（1+lnx）+a，g（x）=（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）若对任意给定的x0（0，e，在（0，e2上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的范围，得到f（x）=g（x0）（2a）（x1）g（x0）=2lnx，记h（x）=（2a）（x1）g（x0），根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2（1+lnx）+1，f（x）=1=，f（1）=0，f（1）=1，故切线方程是：y=x+1；（2）g（x）=（1x）e1x，g（x）在（0，1）递增，在（1，e）递减，而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2e0，g（x）（0，1，f（x）=g（x0）（2a）（x1）g（x0）=2lnx，记h（x）=（2a）（x1）g（x0），h（1）=g（x0）0，h（x）=（2a），a2时，h（x）在（0，e2递减，不可能有两个零点，a2时，h（x）在（0，）递减，在（，e2递增，h（）a2（a3）g（x0）0，h（x）有2个零点，必有h（e2）0a2，综上：a2选修4-1：几何选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知DBBE，可知DE为O的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=设DE的中点为O，连接BO，可得BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30得到CFBF进而得到RtBCF的外接圆的半径=【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE为O的直径，DCE=90DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故DG是BC的垂直平分线，BG=设DE的中点为O，连接BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF的外接圆的半径=选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=4cos（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）将=4cos两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|【解答】解：（I）=4cos，2=4cos，圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x2）2+y2=4整理得，即t1，t2异号|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=选修4-5：不等式选讲24已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）xy【考点】不等式的证明【分析】（1）方法一、求得0a1，化原式=3（a）2+，由二次函数的最值求法，可得最小值；方法二、运用柯西不等式可得a2+（b）212+（）2（a1+b）2，化简即可得到最小值；（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x2+y22xy，整理即可得证【解答】解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1a，且a0，b0，可得0a1，则a2+2b2=a2+2（1a）2=3a24a+2=3（a）2+，当a=（0，1）时，取得最小值；解法二、由柯西不等式可得（a2+2b2）（1+）=a2+（b）212+（）2（a1+b）2=（a+b）2=1，即有a2+2b2，当且仅当a=2b=，取得最小值；（2）证明：由正实数a，b，x，y满足a+b=1，可得（ax+by）（ay+bx）=abx2+aby2+a2xy+b2xy=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy2abxy+（a2+b2）xy=xy（a2+b2+2ab）=xy（a+b）2=xy，则（ax+by）（ay+bx）xyxx10月5日