2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式教案苏教版必修4.doc

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式教案苏教版必修4教学分析本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六，并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础，它们主要用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识本部分内容的重点是六个诱导公式的推导，在公式的推导中，首先确定180角、角的终边与角的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论，另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90的非负角，但是在推导中却把拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制转化的练习三维目标1通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想2通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用3进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力重点难点教学重点：六个诱导公式的推导及灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等教学难点：六组诱导公式的灵活运用课时安排2课时第1课时导入新课投影显示以下问题：sin_，cos_，sin_，cos_，sin()_，cos()_，sin_，cos_，sin_，cos_.学生能马上说出sin、cos的值，对于其他的值可能会有点困难，请仔细观察一下，其他的角与之间有什么关系吗？你能否将其他角用表示出来？推进新课12k，2的三角函数等于的同名函数值，前面加上一个把看成是锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名不变，符号看象限2.，的三角函数值等于的余名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名改变，符号看象限这九组诱导公式总的口诀是：奇变偶不变，符号看象限其中，变与不变是指函数名是否改变，奇偶是指前面是的奇数倍还是偶数倍，当成锐角来看，符号是指等号右边的正负号活动：在初中学习的锐角三角函数值，可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或使用计算器求得教师可组织学生思考讨论如下问题：0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得；90到360的角能否与锐角相联系？通过分析与的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求90，360)内的角的三角函数值，转化为求有关锐角的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想通过分析，归纳得出：如图1.图1教师引导学生分为锐角和任意角作图分析：如图2.图2引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角与180的关系无论为锐角还是任意角，180的终边都是的终边的反向延长线，所以先选择180为研究对象利用图形还可以直观地看出角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P(x，y)由此指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式四：sin(180)sin，cos(180)cos.并指导学生写出角为弧度时的关系式：sin()sin，cos()cos，tan()tan.并进一步引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用教师引导学生在单位圆中讨论与的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考任意角和的终边的位置关系：角的终边与角的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数探索、概括、对照公式四的推导过程，由学生自己完成公式二的推导，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.教师适时点拨学生注意：无论是锐角还是任意角，公式均成立，并进一步引导学生观察分析公式二的特点，得出公式二的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值学生自然会想到与会有什么关系呢？教师与学生一起讨论与的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角和的终边的位置关系：角的终边与角的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.强调无论是锐角还是任意角，公式均成立并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆通过观察思考发现以上公式可以用下面一段话来概括：k2(kZ)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号教师进一步点拨以上公式可简记为：“函数名不变，符号看象限”点拨、引导学生注意公式中的是任意角思路1例1见课本本节例1.变式训练1利用公式求下列三角函数值：(1)cos225；(2)sin；(3)sin()；(4)cos(2 040)解：(1)cos225cos(18045)cos45；(2)sinsin(4)sin；(3)sin()sinsin(5)(sin)；(4)cos(2 040)cos2 040cos(6360120)cos120cos(18060)cos60.点评：由上述例题我们可看出，利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，这是数学中很重要的一种思想方法，教师在学生完成例1后应留出足够的时间让学生思考总结2cos330等于()A.BC.D答案：C3下列各数中，与sin2 007的值最接近的是()A. B.C D答案：C例2化简：.活动：引导学生认真仔细的观察题目，重点考查学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的解：sin(180)sin(180)sin(180)(sin)sin，cos(180)cos(180)cos(180)cos，cos(180)cos，sin(360)sin，所以原式1.点评：运用诱导公式时首先将负角化为正角.变式训练化简：.解：1.思路2例1化简cos315sin(30)sin225cos480.活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分解：cos315sin(30)sin225cos480cos(36045)sin30sin(18045)cos(360120)cos(45)sin45cos120cos45cos(18060)cos601.点评：利用诱导公式化简是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证：tan.分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边证明：左边tan右边所以原式成立规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)1cosx；(2)g(x)xsinx.活动：根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性时，可以按以下步骤进行：先根据解析式确定函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称(1)若定义域关于原点不对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)若定义域关于原点对称，再讨论f(x)和f(x)的关系若f(x)f(x)，则函数是偶函数；若f(x)f(x)，则函数是奇函数解：(1)因为函数f(x)的定义域是R，且f(x)1cos(x)1cosxf(x)，所以f(x)是偶函数(2)因为函数g(x)的定义域是R，且g(x)xsin(x)x(sinx)(xsinx)g(x)，所以g(x)是奇函数课本本节练习1、2、3.本节课我们学习了公式一、公式二、公式三、公式四四组公式，这四组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时经常用到，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知向已知转化的化归思想课本习题1.213、14、15.一、有关角的终边的对称性(1)角的终边与角的终边关于原点对称(2)角的终边与角的终边关于x轴对称(3)角的终边与角的终边关于y轴对称二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)k2(kZ)，的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”(2)公式中的是任意角(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值基本步骤是：任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2角的三角函数锐角的三角函数三角函数即负化正，大化小，化为锐角再查表一、错解剖析我们在对已知条件等式进行变形时，特别是进行平方变形时，往往不经意间会扩大或缩小角的取值范围，而造成漏解或增解，对于上述情况，一定要注意题目所给条件对角的限制，要将所求得的解进行验证，或检查变形对角的范围有无影响例已知tan()a2，|cos()|cos，求的值错解：tan()a2，tana20，cos0.是第二象限角又cos()cos，.点评：一个实数的平方不一定是正数，可能是零，因此，本题不能漏掉角的终边在x轴的非正半轴上的情形而由于tan存在，这就决定了角的终边不在y轴上，即cos不为零，因此，由tana20，|cos()|cos0即cos0，可知角的终边在第二象限或x轴的非正半轴上若角的终边在第二象限，即cos0时，；若角的终边在x轴的非正半轴上，即a0时，1.综合上述两种情况可得.二、备用习题1设A、B、C是三角形的三个内角，下列等式成立的是()Acos(AB)cosC Bsin(AB)sinCCtan(AB)tanC DtanAtanBtanC2函数f(x)cosx(xZ)的值域为()A1，0,1 B1，1C1，0，1 D1，13已知sinm，则cos的值是()Am Bm C. D4化简(nZ)所得的结果是()Atann Btann Ctan Dtan5设tan(3)a，则的值为()A. B.C. D.6化简：(kZ)参考答案：1.B2.B3.C4.C5.A6.1.(设计者：郑吉星)第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式一、二、三、四，现在请同学们回忆一下相应的公式，提问多名学生上黑板默写公式在此基础上，我们今天继续探究别的诱导公式，揭示课题推进新课1若一个角的终边与角的终边关于直线yx对称，则这两个角具有怎样的数量关系？2用已有公式得出的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线yx对称的角的数量关系教师让学生充分探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线yx对称的两个角之间的数量关系，关于直线yx对称的两个点的坐标之间的关系进行推导如图1，设任意角的终边与单位圆的交点P1(x，y)，由于角的终边与角的终边关于直线yx对称，角的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线yx对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有图1siny，cosx，cos()y，sin()x.从而得到公式五：活动：教师点拨学生将转化为()，从而利用公式三和公式五达到我们的目的因为可以转化为()，所以求角的正余弦问题就转化为利用公式三接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导公式六公式六：结合上一堂课研究公式一四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化公式一六都叫做诱导公式讨论结果：诱导公式一四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2k(kZ)，(可看作0)其中2k，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角，函数名称不改变而公式五、六，这些公式左边的角分别是，.其中，是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角，函数名称要改变两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限教师指点学习方法：如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了因此，要求大家多做这方面的工作，以后数学的学习就不再是枯燥无味的了思路1例1求证：(1)sin()cos；(2)cos()sin.活动：直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题证明：(1)sin()sin()sin()cos；(2)cos()cos()cos()sin.点评：由公式五及六推得的三角函数值与角的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到(kZ)的情形本例的结果可以直接作为诱导公式使用例2见课本本节例3.变式训练化简：.解：原式tan.思路2例1(1)已知f(cosx)cos17x，求证：f(sinx)sin17x；(2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)sinnx推出f(cosx)cosnx?活动：对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinxcos(x)或cosxsin(x)要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移(1)证明：f(sinx)fcos(x)cos17(x)cos(817x)cos(17x)sin17x，即f(sinx)sin17x.(2)解：f(cosx)fsin(x)sinn(x)sin(nx)故所求的整数为n4k1(kZ)点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练已知cos()m(m1)，求sin()的值解：()，()sin()sin()cos()m.点评：(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.例2见课本本节例4.变式训练 若函数f(n)sin(nZ)，则f(1)f(2)f(3)f(102)_.解：sinsin(2)sin，f(n)f(n12)又f(1)f(2)f(3)f(12)0，f(1)f(2)f(3)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)2.例3已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，其中a，b，都是非零实数，又知f(2 003)1，求f(2 004)的值活动：寻求f(2 003)1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的关键和要害解：f(2 003)asin(2 003)bcos(2 003)asin(2 002)bcos(2 002)asin()bcos()asinbcos(asinbcos)，f(2 003)1，asinbcos1.f(2 004)asin(2 004)bcos(2 004)asinbcos1.点评：解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用解答本题的关键和要害就是求得式子asinbcos1，它是联系已知和未知的纽带课本本节练习14.本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度1求值：sin21sin22sin23sin288sin289.2已知sin(xy)1，求证：tan(2xy)tany0.3已知tan()2，求：(1)；(2)2sin(3)cos()sin()sin()参考答案：1.44.5.2.略.3.(1)1；(2)2.1本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活、熟练掌握公式通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质2用口诀记忆公式：，2k的三角函数公式为：“函数名不变，符号看象限”，的三角函数公式为：“函数名改变，符号看象限”，其中看成锐角3用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明一、错解点击是否存在角、，(，)，(0，)，使得等式sin(3)cos()，cos()cos()同时成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由错解：将已知条件化为22，得sin23(1sin2)2，即sin2，sin.，或.(1)当时，由得cos，0，；(2)当时，由得cos，0，.故存在，或，使得两个等式同时成立点评：若将所求得的、的两组值分别代入式会发现，当，时，式不成立，造成这种错误的原因是：我们对进行平方时，扩大了角与的取值范围事实上，由式可知sin与sin需同号，由式可知cos与cos需同号，而我们在平方消元(角)时，将式平方后，sin与sin可异号，而这是不允许的因此，我们在对三角函数式进行非等价变形时，要注意检验其是否满足题设条件本题只存在一组值，符合题意本题如果改变角的范围为00)图1所以得出sinsin，coscos，tantan.几何方法：设角和角的终边分别与单位圆交于P，P1两点，则有P(cos，sin)，P1(cos，sin)由点的对称关系得：sinsin，coscos，tantan.再探讨角和角的关系(由前面终边相同的角的知识归纳出角和角的关系)学生归纳：2k(kZ)特别地，当k0时，也满足条件，于是得出sin()sin，cos()cos，tan()tan.(公式二)设计目的：由对称关系分别从数和形两个方面寻找终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系，充分利用对称性，让学生比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性把问题呈现给学生，引导学生积极主动探究，调动他们求知的积极性和主动性，将公式二的推导过程展示给学生，目的在于突破这一组公式后，就可以让学生自行推导其余的各组公式师：借助刚才我们探讨的方法，下面请同学们自己选择合适的方法探究角和角的终边关于y轴，原点对称时你能得出什么结论学生活动：留时间给学生推导，教师巡视，对有困难的同学给予适时的指导，情感上对学生给予鼓励，帮助学生树立克服困难的信心稍后请同学回答，并将学生的成果用投影仪展示，加以适当调整修正即可得到公式三和公式四知识拓展：1.公式二、三、四能否由其中的两个推出另外一个？2由公式二你能得出三角函数的什么性质？合作探究：角和角的终边关于直线yx对称：(1)角和角的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？(2)角的终边与角的终边是否关于直线yx对称？(3)由(1)和(2)你能得出什么结论？图2师生互动：多媒体展示图形，先让学生观察动画，教师引导学生从图形和函数中点关于直线对称的知识一步步突破难点，对于与的终边是否关于直线yx对称，可以先从特殊角观察，再推广到一般情况从而和学生一起合作推导出公式五突破难点：对于问题(1)我是这样引导学生的：从三角函数的几何意义得出角和角的终边与单位圆交点的坐标，接着可以通过两种途径寻找角和角的正弦函数和余弦函数值之间的关系方法一：通过三角形相似得到线段之间的关系，再根据有向线段的方向得出函数值之间的关系方法二：函数中某点(a，b)关于直线yx对称点的坐标为(b，a)，进而得出函数值之间的关系师：利用公式二和公式五你又能发现什么？学生活动：由学生推导出公式六设计目的：几组诱导公式能一气呵成地推导出来，主要还是依据三角函数的定义和终边的对称关系，可以从形上很直观地得出一些对称点的坐标之间的关系，每组公式的推导都是按下面的程序进行的：终边对称关系终边与单位圆的交点之间的对称关系交点坐标之间的关系三角函数值间的关系学生自己推导公式二、三、四、五，让他们亲身体验探究的过程，理解知识的发生过程，加深了对三角函数定义的理解而知识拓展又给学生一个思考的空间，可以通过多种途径得到结论其中就体现了变量代换，体现一种转化、化归的数学思想知识整合阶段诱导公式的记忆师：通过大家的努力我们得出了六组公式，这些都叫做三角函数的诱导公式诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系面对这么多公式的记忆问题，同学们能否观察它们之间的联系与区别，寻找记忆的方法？学生活动：留时间给学生讨论、观察、分析、对比、交流，最后总结：(1)公式特征；(2)记忆方法；(3)符号规律；(4)记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”设计目的：公式的繁多给学生的记忆带来很大的困难，让学生观察比较寻找公式之间的区别与联系，总结记忆的方法，培养学生从复杂事物中发现并归纳一般规律的能力著名数学家华罗庚有一句名言：从薄到厚，再从厚到薄经过整合，公式的量大大减少，方便学生记忆又给出符号判断的图，形象直观思维有发散和敛聚两个方面，知识也有拓展和浓缩两种方式，在教学过程中将公式经过整合，公式的量可大大的减少，最后概括为“奇变偶不变，符号看象限”，既从本质上刻画了知识的内涵，又减轻了学生记忆的负担图3知识应用阶段诱导公式的初步应用例1求值：(1)sin；(2)cos；(3)tan(1 560)(学生回答，教师板书)师总结：我们来看大家的解答，注意不同的解答方法的繁简，发现在求任意角三角函数值时都可以转化成求锐角的三角函数值(1)步骤：(2)注意点：符号的判断例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)1cosx；(2)g(x)xsinx.(学生回答，教师板书)设计目的：随着角的概念的推广，同时也将三角函数的概念从锐角推广到任意角的范围，但推广的同时又要不断地返璞归真，将任意角的函数回归到锐角的三角函数而诱导公式则是实现这种转化的关键例1是利用诱导公式求任意角的三角函数值，体现了诱导公式的作用以及学习诱导公式的必要性让学生自己尝试不同解法，比较其中的繁简，从而归纳求任意角的三角函数值的一般方法，即只要用公式转化为相应锐角的三角函数值即可，这种转化非常有价值，体现数学知识的返璞归真公式二是反映三角函数的奇偶性，回顾函数奇偶性判断的一般方法，为以后学习三角函数的图象和性质作铺垫知识巩固：学生练习课本本节练习题1、2(板演)、3(口答)学习小结阶段归纳知识方法，布置课后作业本节课的主要流程如下：(1)分析解决问题：教学中先引导学生分析解决问题，包括：引导学生分析终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系，再由终边相同角的知识得出角之间的关系，进而推导出三角函数的诱导公式，将知识的结合点设定在“对称”这个点上在得出公式后又在公式记忆这里给学生提出思考，总结出公式的规律和记忆方法(2)归纳解题方法：主要引导学生观察、归纳、猜想、合情推理(3)渗透数学思想方法：数形结合、变量代换、分类讨论等思想方法，培养学生思维的缜密性、创造性、深刻性等内容课堂小结：(请学生小结本节课的内容)1公式的推导及记忆方法；2运用公式求任意角的三角函数的解题步骤；3数形结合的思想方法课后作业：课本习题1.23、4、5.本节课设计对一般问题的探讨和论证，紧密而又和谐，学生不会有什么大的障碍和困难本节课的主要任务是诱导公式的推导和简单应用，同时又联系到图形的各种对称、变量的代换、数形结合、分类讨论的思想方法，使学生多方位、立体化、多层面地受益有机结合教学内容，特别是高中数学的教学内容，对学生渗透辩证唯物主义世界观和方法论的教育，是中学数学教育极为重要的一项任务就本节课而言，“事物的内部矛盾是推动事物发展的动力”“矛盾双方在一定的条件下可以从一方转化为另一方”“透过现象抓住事物的本质”这些完全可以渗透到教学过程中