2019-2020年高中数学《等差数列》教案5 苏教版必修5.doc

2019-2020年高中数学等差数列教案5 苏教版必修5教学目标：明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：.复习回顾等差数列定义：anan1d(n2)，等差数列通项公式：ana1(n1)d(n1)，推导公式：anam(nm)d.讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：AabA，即：a.反之，若A，则2Aab，AabA，即a、A、b成等差数列.总之，Aa，A，b成等差数列.如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5，同时还满足5.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7.看来，a2a4a1a52a3，a4a6a3a72a5依此类推，可得在一等差数列中，若mnpq，则amanapaq.下面，我们来看一个实际问题.例1梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a133，a12110，n12.由通项公式，得a12a1(121)d，即：1103311d，解得：d7.因此，a233740，a340747，a454，a561，a668，a775，a882，a989，a1096，a11103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.例2已知数列的通项公式为anpnq，其中p、q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1(n2)是不是一个与n无关的常数就行了.解：取数列an中的任意相邻两项an1与an(n2)，anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列，且公差是p.在通项公式令n1，得a1pq，所以这个等差数列的首项是pq，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：anpnq（其中p、q是常数）当p0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在yq的图象上.当p0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数ypxq的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：an2n1，相应的图象是直线y2x1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：例3已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为xd、x、xd则解得x5，d2.所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.例4已知数列an为等差数列，a12，a23，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第235项，原数列的第三项是新数列的第3239项.原数列的第n项是新数列的第n(n1)34n3项.（1）当n12时，4n3412345，故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n329，解得n8，故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为，原数列的第n项是新数列的第n(n1)m(m1)nm项.例5在等差数列an中，若a3a8a1312，a3a8a1328，求an的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为ana1(n1)d则即代入得（a12d）(a112d)7a147d，代入，（45d）(45d)8即1625d27，解得d.当d时，a1，an(n1)n当d时，a1，an(n1)（）n.分析二：视a3，a8，a13作为一个整体，再利用性质：若mnpq，则amanapaq解题.解法二：a3a13a8a82a8，又a3a8a1312，故知a84代入已知得 解得或由a31，a137得d.ana3(n3)n.由a37，a131，仿上可得：ann. 评述：在解答本题时，首先应注意到an是等差数列这个大前提，否则，仅有a3a8a1812及a3a8a1328就无法求出a3，a8，a13的具体值；其次，应注意到a3，a8，a13中脚码3，8，13间的关系：31388，从而得到a3a13a8a82a8.课堂练习课本P36练习已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d:(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a1，a2，am，am+1，an，若去掉前m项，则新数列为：am+1，an，即首项为am+1，公差为d的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，a4，a5，an，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1，a3，a5，a2m1，即，首项为a1，公差为2d的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，an，则新数列为：a7，a14，a21，a7m，即首项为a7，公差为7d的等差数列.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A与a，A，b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.课后作业课本P39习题 4，5，6，7