2019-2020年高中数学 平面向量数量积 新人教A版必修4.doc

2019-2020年高中数学 平面向量数量积 新人教A版必修4 考情分析1. 向量的数量积仍然是高考考查的热点，经常以选择题，填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变。以重点考查平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题为主。2. 向量的数量积还经常与三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合，一解答题形式出现，命题的空间较大，且形式灵活，全面考查能力，突出向量的工具性，在知识的交汇处命题是高考的热点之一。 复习要求1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 复习重点1. 数量积的坐标表示与数量积的运算2. 夹角与模的相关问题3. 与三角函数、解析几何等知识的综合应用 复习难点1. 数量积的几何意义的理解2. 夹角与模的相关问题3. 与三角函数、解析几何等知识的综合应用 教学过程平面向量的数量积两向量的夹角向量的数量积两向量的夹角两向量的夹角性质 = 0 = |2，| |cosq =性质运算律A考点梳理 考点解读1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq 叫与的数量积，记作，即有 = |cosq，（）并规定与任何向量的数量积为0 B3. 几何意义：“投影”的概念：作图BBAOB1 (B1)OAB1OA定义：|cosq 叫做向量在方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |；当q = 180时投影为 -|几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积4代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量与， = 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量与，当与同向时， = |；当与反向时， = -|（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）； （3）cosq =（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4） = |2，（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）| |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；5任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积的运算律：实数的运算律向量数量积运算律（交换律） ab=ba（结合律）(ab)c=a(bc)（分配律）a(b+c)=ab+ac5两个向量的数量积的坐标运算B考点典例1.平面向量的数量积及运算例1. （1）在直角三角形ABC中，,AB =5,AC =4.求 (2) 若 =（3，-4）， = （2，1）。试求（-2）（2+3）解：（1）在ABC中，AB =5,AC =4 故而BC =3 所以 cosABC = ,即 = - ABC= - cosABC = -53= - 9（2）-2=（-1，-6）， 2+3=（12，-5）（-2）（2+3）=-112+（-6）（-5）= 18【评析】本例强调数量积的基本运算，特别是夹角范围的判断，对（2）小题还可以利用运算律展开与实数中的多项式乘法法则类比，借此强调不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算中，如： ； 等。Ex1 已知 =1 , =, =0,点C在AOB 内，且AOB =，设=+,(,R) , 则= 32. 夹角与模例2. 已知：，是两个非零向量，且=-，求：与+的夹角 解：设与+的夹角为，由= 得 = 又由 =-2+ = 而 =+2+=3 = cosq =CA =方法二：如图，以O为起点做向量=，=，OB连接AB , 得-，=+，显然AOB为正三角形，AOB = ,故而与+的夹角为 。【评析】熟悉夹角公式的结构形式，了解夹角与模的关系，借助几何意义处理问题的简便性，体现数形结合思想。Ex2 如图在RtABC中，已知BC =a,若长为2a的线段PQ以点A位中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求其最大值。C解： = 0Q 又=-,=- AB =-P =(-)(-) =-+ =-+=-(-) =-+=-+ cosq故而当cosq = 1 ，即=时，最大，其最大值为0【评析】 3. 与三角函数的综合例3（09江苏T15）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.解【评析】向量与三角函数结合主要体现其工具性，特别是借助坐标运算其代数形式的应用。还可以通过向量的代数性简化数学问题，如课本第108页有道数学题：Ex3 证明：任意实数a、b、c、d，恒有不等式成立。证明：令：=(a,b) , =(c,d) = cosq (其中为向量，的夹角)所以ac+bd=故而=4. 与解析几何综合例4.（08四川T21）设椭圆 的左、右焦点分别为、，离心率，右准线为，、是上的两个动点，（）若，求、的值；（）证明：当取最小值时，与共线【评析】体现向量的工具性。C.课堂小结：D.教学反思: