2019-2020年高中数学第二章数列第1讲等差数列与等比数列教学案新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学第二章数列第1讲等差数列与等比数列教学案新人教A版必修5【知识梳理】（一）知识框架（二）基础知识与基本技能1、数列的概念与简单表示法：（1）数列的概念：按一定次序排列的一列数数列与数集的区别：次序。数列的分类：按项数分类（有穷数列、无穷数列），按项之间的大小分类（递增、递减、常数、摆动数列）：递增数列an1an；递减数列an1an；常数数列an1an；摆动数列相邻两项间的大小关系变化不定；有界数列|an|M（M为常数）。运用函数观点理解数列概念数列的表示方法：与函数的表示方法相同解析法（通项公式或递推公式），列表法，图像法（在坐标系中的一群孤立的点），区别是数列的定义域是自然数集N（或它的有限子集1，2，3，n）。（2）数列的项、项数、通项公式通项公式，注意an与an的区别，通项公式反应了次序对于数列的重要性。通项公式的两种重要变形ana1（a2a1）（a3a2）（anan1）（演变为裂项相消求和法）；ana1（迭乘法）。注意：并不是所有的数列都有通项公式，有很多数列往往只有递推公式而没有通项公式，有些数列既有递推公式又有通项公式；有些数列的通项公式并不是唯一的。通项公式反应了数列的函数性质：在函数意义下，数列是定义域为自然数集N（或它的有限子集1，2，3，n）的函数f（n），当n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值。通项公式的简单运用（3）递推公式递推公式与通项公式的区别与联系递推公式的运用（4）数列的前n项和：，当n2时，anSnSn1。在数列an中，an与Sn的关系：an。（5）常用的求数列通项公式的方法观察法：观察项数与项之间的等量关系、前后项之间的等量关系已知前若干项时，可以通过观察与猜想、归纳求得数列的通项公式。这是最基本的方法。运用此法时，要做到：有次序，有序号，有函数观念，正确找出项与序号之间的变化规律。熟记一些常见数列，如(-1)n、n、n2、2n-1、2n、2n、等。公式法：运用等差数列的通项公式直接求解。阶差法：将数列an的后一项减去前一项作阶差bnan1an，得到新的数列bn，若阶差数列可以求和，则数列an可以求通项公式：ana1。利用前n项和Sn法：。注意：在什么时候an合并书写，什么时候需分开书写利用递推公式法2、等差数列(A.P.)：（1）等差数列的定义如果一个数列从第二项起，第一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差。即成等差数列（其中，a1和d是等差数列中的基本量）。判定一个数列是否为等差数列，不能仅通过验证前几项得知，应该根据等差数列的定义证明anan1常数，也可以利用其等价定义an1an12an。（2）通项公式：（其中Ad，Ba1d），变形为：公差公式d（n1），项数公式n1；注意：通项公式an是一个一次函数。第二通项公式：，变形为：公差公式d（nm），项数公式nm。（3）等差数列的前n项之和Sn：（其中A，B）第一求和公式体现了等差数列的中项对称性质，类似于梯形的面积公式。第二求和公式还可以将a1改为an。倒序相加求和技巧。注意：第二求和公式说明等差数列的前n项之和Sn是一个二次函数，可以利用公式以及二次函数的最值性判断并求解前n项和的最值若d0，则数列an为递增数列，Sn有最小值通过解不等式组可得在第k项时Sn取得最小值；若d0，则数列an为递减数列，Sn有最大值通过解不等式组可得在第k项时Sn取得最大值；若d0，则数列an为常数数列，Snna1。在等差数列an中，a1，an，Sn，n，d五个基本元素，通过通项公式与求和公式可以“知三求二”。显然数列是等差数列，且的公差是an的公差的。（4）等差中项：数a与b的等差中项为（这是充要条件）。三数成等差数列，常设为ad，a，ad，也可以设为a，ad，a2d。四数成等差数列，常设为ad，a，ad，a2d（d为公差），也可以设为a3d，ad，ad，a3d（d为公差之半）。在等差数列an中，amk，am，amk仍成等差数列；在等差数列an中，任意连续3项am1，am，am1仍成等差数列。（5）等差数列的性质等差中项与中项对称下标和相等性：距离首末两项等距离的项的和相等，且等于首末两项之和，即a1an1a2an2a3an3，特别地，若项数为奇数，还有a1ana2an2a3an32a中。如图所示：一般地，若，则。特别地，若，则。等差数列的选项原理下标等差性：等差数列中，每隔相同的项抽取出来的项，按照原来的顺序排列而成的数列是等差数列。如奇数项成等差数列，公差为2d；偶数项，成等差数列，公差为2d；数列成等差数列，公差为pd。等长等距离性：等差数列中抽取的等长连续片断之和构成的新数列仍然是等差数列。如，则有。又如，若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：。等差数列奇、偶项之间的关系a2na2n-1=d若数列有奇数2n1项，则S奇（n1）an1，S偶nan1，所以S2n1S奇S偶（2n1）an1，S奇S偶an1，。若数列有偶数2n项，则S奇nan，S偶nan1，所以，。等差数列脚标与项之间的特殊结论在等差数列an中，若anm，amn，则anm0（nm）。在等差数列an中，若Snm，Smn，则Snm（nm）（nm）。在等差数列an中，若SnSm，则Snm0（nm）。等差数列的相关性与组合性若数列an与bn都是等差数列，则它们的前n项和Sn与Tn存在以下关系；an的前n项和Sn与bm的前m项和Tm存在以下关系（利用中项对称可得证明）。若数列an与bn都是等差数列，则数列kanpan是等差数列，其公差dkd1pd2（d1是an的公差，d2是bn的公差）。（6）等差数列的判定方法定义法：成等差数列。中项公式法：an1an12an成等差数列。通项公式法：anpnq成等差数列。通项公式为一次函数前n项和公式法：SnAn2Bn成等差数列。前n项和为缺常数项的二次函数。构造数列法：数列成等差数列成等差数列。的公差是an的公差的。（7）求等差数列通项公式的方法anpnq（8）求等差数列的前n项的方法3、等比数列（G.P.）：（1）等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比。即成等比数列（其中，a1和q是等比数列中的基本量）。（2）通项公式：，公比公式（n1）；变形：（该式可以改写为ancqn，c），；注意：通项公式an是指数函数形式。第二通项公式：，变形为公比公式。（3）前n项和公式：在等比数列的求和问题中，当不能确定“q1”时，应该分“q1与q1”两类讨论当q1时，Sn可以进行变形Sn（其中k为常数，且q0，q1）。错位相减求和技巧适用于公比q1的等比数列和差比数列的求和。任意连续m项的和（即从ak到akm1的和）TmSkm1Sk1或Tm。最值性质若a10，q1或a10，0q1，则数列an为递增数列，a1是最小项；若a10，0q1或a10，q1，则数列an为递减数列，a1是最大项；若q1，则数列an为常数数列；若q0，则数列an为摆动数列，正负项相间排列。在等比数列an中，a1，an，Sn，n，q五个基本元素，通过通项公式与求和公式可以“知三求二”。（4）等比中项数a、b的等比中项及其条件：a与b的等比中项（这是充要条件）。三数成等比数列，常用acb2，也可以设为aq1，a，aq，或设为a，aq，aq2。四数成等比数列，常设为aq1，a，aq，aq2（q为公比），也可以设为aq3，aq1，aq，aq3（q为公比的算术平方根，该设法必须是数列的各项同号）。（5）性质：等比中项与中项对称下标和相等性：a1an1a2an2a3an3，特别地，若项数为奇数，还有a1ana2an2a3an3a中2。如图所示：一般地，若，则，特别地，若，则。等比数列的选项原理下标等差性质：在等比数列中，每隔相同的项抽取出来的项，按照原来的顺序排列而成的数列是等比数列。如奇数项成等比数列，公比为q2；偶数项，成等比数列，公比为q2；数列成等比数列，公比为qp。等长等距离性：在等比数列中抽取等长连续片断之和构成的非零数列（0且q1）仍然是等比数列。如设，则。又如，若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：。等比数列奇、偶项之间的关系等比数列中，若q1，数列有奇数2n1项，则S奇，S偶，。若数列有偶数2n项，则S奇，S偶，。等比数列脚标与项之间的特殊结论在等比数列an中，若anm，amn，则anm1a1（nm）。在等比数列an中，若Snm，Smn，则（nm，q1）。在等比数列an中，若SnSm，则q1（nm）。等比数列的相关性与组合性若数列an是非负的等比数列，则与loguan是等差数列，其公差为dloguq；若数列an是等比数列，则与tan也是等比数列，其公比仍为q；若数列an是等比数列，则与|an|是等比数列，其公比为|q|；若数列an是等比数列，则与anr是等比数列，其公比为qr。组合性：若数列an与bn都是等比数列，则数列tkanbn与都是等比数列，其公比分别为tq1q2与（其中，q1是an的公比，q2是bn的公比）。（6）等比数列的判定方法定义法：成等比数列。等比中项法：an1an1an2（an1an1an0）成等比数列。通项公式法：ancqn 成等差数列。前n项和公式法：Sn（其中k为常数，且q0，q1）成等比数列。若数列an是等差数列，则是等比数列。（7）求等比数列通项公式的方法（q1）（8）求等比数列的前n项的方法4、求数列an的最大、最小项的方法：an1an ：如an 2n229n3。 （an0）：如an anf（n）：研究函数f（n）的单调性，如an【基础知识总结】【方法与技巧总结】 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整【典例剖析】（一）通项公式与数列中的项：【基础例题】1、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，； (2)0.8,0.88,0.888，；(3)，； (4)，1，；(5)0,1,0,1，. (6)3,33,333,3 333，.【分析】先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系解：（1）an(1)n(6n5) （2）an（3）an(1)n （4）an（5）an或an或an（6）an(10n1)2、已知数列。(1)求第10项； (2)是该数列的项吗?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内； (4) 在区间内有无数列中的项?解：设（1）（2）解得，所以不是该数列的项（3），即（4）令，所以n=2时上式成立.即在区间内。3、已知数列an满足则axx等于 . 略解：，axx=2。4、数列 an 的通项公式为anlog2(n23)-2,则 log23 是这个数列的第_项.略解：，5、数列 an 的通项公式为数列 an 的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y等于 。解：令，则0t1，当时，an取得最小值，此时n=2，当时，an取得最大值1，此时n=1，所以x+y=3。6、数列满足,则数列中第_项最大. 解: 考察函数 可知函数在上是增函数, 在上是减函数, 7、已知，试求的最大项。解：当n8时，an+1an；当n=8时，a9=a8；当n8时，an+1an；数列an存在最大项，最大项为a8=a9=。8、解：由题意，又当时，9、在数列an中，若，试求通项公式。解：得当n=1时，a1=6也适合上式，所以。10、在数列an中，若，试求通项公式。解：当n=1时，a1=1也适合上式，所以an=n。11、已知数列an的前n项积为，则 。解：当n2时，12、已知数列an满足，则 。解：13、已知数列an满足a1=2, 则a1a2a3axx的值为_.解：（二）已知数列的递推公式求通项公式：【基础例题】【基础知识总结】【方法与技巧总结】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2； (2)a11，anan1 (n2)；(3)已知数列an满足an1an3n2，且a12，求an.（4）已知且求an. 【分析】1)可用构造等比数列法求解(2)可转化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解：(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1 (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.（4）倒数法。【变式练习】根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)在数列an中，an13a，a13；(2)在数列an中，a11，an1；(3)在数列an中，a12，an14an3n1；(4)在数列an中，a18，a22，且满足an24an13an0.解：(1)由已知an0，在递推关系式两边取对数有lg an12lg anlg 3，令bnlg an，则bn12bnlg 3，bn1lg 32(bnlg 3)，bnlg 3是等比数列，bnlg 32n12lg 32nlg 3，bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an，(2)将an1取倒数得：2，2，又1，是以1为首项，公差为2的等差数列12(n1)，an.【变式练习】（接上页）(3)由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列，ann(a11)4n1，an4n1n.(4)将an24an13an0变形为an2an13(an1an)，数列an1an是以a2a16为首项，3为公比的等比数列，则an1an63n1，利用累加法可得an113n.（三）由an与Sn的关系求通项公式an：【基础知识总结】【方法与技巧总结】(1)已知an的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：应重视分类讨论的应用，分n1和n2两种情况讨论；特别注意anSnSn1中需n2.由SnSn1an推得的an，当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”由SnSn1an推得的an，当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an(2)利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用【基础例题】1、已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通项公式【分析】当n1时，由a1S1，求a1；当n2时，由anSnSn1消去Sn，得an1与an的关系转化成由递推关系求通项解：由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去因此an1an30.即an1an3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n1.【技巧】已知递推关系求通项，一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法2、设数列an的前n项和为Sn，a11，an2 (n1) (nN*)(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)是否存在自然数n，使得S1(n1)2xx？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由解：(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*)当n2时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，数列an是以a11为首项，4为公差的等差数列于是，an4n3，Sn2n2n (nN*)(2)由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令2n12 013，得n1 007，即存在满足条件的自然数n1 007.3、已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.【分析】(1)直接套用等差数列的通项公式和前n项和公式计算；(2)直接套用等比数列的通项公式求出bnan的通项公式，再求数列bn的通项公式及前n项和解：(1)因为an是首项为19，公差为2的等差数列，所以an192(n1)2n21，即an2n21； 3分Sn19n(2)n220n，即Snn220n.6分(2)因为bnan是首项为1，公比为3的等比数列，所以bnan3n1，即bn3n1an3n12n21，9分Tnb1b2bn(30a1)(3a2)(3n1an)(3033n1)(a1a2an)n220nn220n. 14分4、已知数列中，当时，其前项和满足，求数列的通项公式。解：【基础知识总结】【方法与技巧总结】(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数（四）用函数的思想方法解决数列问题：【基础例题】(14分)已知数列an(1)若ann25n4。数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立求实数k的取值范围【分析】(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续从二次函数的对称轴研究单调性解：(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4是关于n的二次函数，考虑到nN*，3.14分（五）等差数列的基本量的计算：【基础例题】【基础知识总结】【方法与技巧总结】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法1、设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围【分析】(1)由S5S6150与S55可构建关于a1，d的方程组(2)由S5S6150可化为关于a1的一元二次方程，因为an存在，所以关于a1的一元二次方程有解解：(1)由题意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.2、(xx福建)已知等差数列an中，a11，a33.(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.【基础知识总结】【方法与技巧总结】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前n项和SnAn2Bn (A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值（六）等差数列的前n项和及综合运用：【基础例题】1、(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和【分析】(1)由a120及S10S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号解：方法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时，an0，n14时，an0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n6；由得n5，所以n6.即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|a747243.设|an|的前n项和为Tn，则Tn2、设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0090.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.解：方法一(1)设公差为d，则由S2 00902 009a1d0a11 004d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)a1(2 009nn2)a10，nN*，当n1 004或1 005时，Sn取最小值a1.(2)ana1，Snan(2 009nn2)a1.a10，n22 011n2 0100，即(n1)(n2 010)0，解得：1n2 010.故所求n的取值集合为n|1n2 010，nN*方法二(1)设公差为d，则Snna1dn2n，a1是常数，Sn是n的二次函数(d0时)S2 0090，S00，顶点的横坐标为1 004.又由a10，又nN*.故当n1 004或1 005时，Sn取最小值S1 004a1.(2)ana1(n1)ddn(a1d)，d0，d和a1d均为常数，an是n的一次函数又由S2 0090a2 010S2 009a2 010，即S2 010a2 010. 故方程Snan有两个实数解n1和n2 010.由图可知，anSn的解集为n|1n2 010，nN*3、在等差数列an中，a1=25，S9=S17问这个数列前多少项和最大？并求出这个最大值. 解1：当n=13时, Sn的最大值为169.解2：解3：an是递减数列, 当n=13时, Sn的最大值为169.解4：Sn的图像时开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的纵坐标为4、在等差数列an中，求|an|的前n项和Tn。解：由得令，当时，当n5时，【变式练习】1、一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差.解1: 设首项为a1，公差为d , 则解得d=5。解2. 由得2、在项数为2n的等差数列中,各奇数项的和为75,各偶数项为90,末项与首项的差为27, 则项数2n的值为多少？ 解：3、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3 4、等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和为 110 .5、已知等差数列an的前 m项和为30,前 2m项和为100,则 它的前 3m项的和为_210_.（七）累加法与迭乘法：【基础例题】1、已知数列an中，则an=_. 略解：【技巧】迭乘法适用于以分式给出递推式的，在累积后可以消去中间项：2、已知数列an中, a1=1, ，则an=_. 略解：【技巧】累加法适用于差后等差或差后等比的数列，在累加后可以消去中间项：3、在数列中，则 .略解：（八）整体思想在等差数列解题中的运用：【基础例题】设等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn (mn)，求它的前mn项的和Smn.【基础知识总结】【方法与技巧总结】(1)本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a1d看成了一个整体，方法二把A(mn)B看成了一个整体，解起来都很方便(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征(3)本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误【分析】(1)Smna1(mn)d(mn)，这样只要求出a1d即可(2)由Sn，Sm可以构造出a1d，并求出解：方法一设an的公差为d，则由Snm，Smn，得得(mn)a1dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)方法二设SnAn2Bn (nN*)，则得A(m2n2)B(mn)nm.mn，A(mn)B1，A(mn)2B(mn)(mn)，Smn(mn)（九）等差数列的判定与证明：【基础例题】【基础知识总结】【方法与技巧总结】证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an1and；(2)等差中项法：2an1anan2.1、已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由【分析】(1)可利用定义证明bnbn1 (n2)为常数来证明数列bn是等差数列(2)通过bn是等差数列，求得an的通项，然后从函数的观点解决数列的最大项和最小项的问题(1)证明：an2 (n2，nN*)，bn.n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解：由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.2、已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn (n2)，a12.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式(1)证明：方法一，由Sn，得2，2，是以即为首项，以2为公差的等差数列方法二，当n2时，2，是以即为首项，以2为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)22n，Sn，当n2时，anSnSn1；当n1时，a12不适合an，故an【基础知识总结】【方法与技巧总结】(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论3、已知成等差数列, 则x =_.（答案）（十）等比数列的基本量的运算：【基础例题】1、(1)在等比数列an中，已知a6a424，a3a564，求an的前8项和S8；(2)设等比数列an的公比为q (q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项【分析】(1)利用已知条件，建立a1和q满足的两个方程，解之可得an，从而可求出S8.(2)利用前n项和公式列出方程组求出a1和q，使问题得到解决需注意的是Sn应分q1和q1两种情况来考虑解(1)设数列an的公比为q，由通项公式ana1qn1及已知条件得：由得a1q38.将a1q38代入式，得q22，无解，故舍去将a1q38代入式，得q24，q2.当q2时，a11，S8255；当q2时，a11，S885.(2)若q1，则na140,2na13 280，矛盾q1，得：1qn82，qn81，将代入得q12a1.又q0，q1，a10，an为递增数列ana1qn127，由、得q3，a11，n4. a2na81372 187.2、设等比数列an的前n项和为Sn，已知S41，S817，求an的通项公式解：方法一在等比数列an中，由S41，S817，则q1，因此得q4117，则q416，q2，或q2，由q2代入得a1，由q2代入得a1，所以数列an的通项公式为an2n1或an(2)n1.方法二q416，则q2，或q2.又S41，当q2时，由a1(1qq2q3)1得a1，因此ana1qn1；当q2时，由a1(1qq2q3)1得a1.因此ana1qn1.【基础知识总结】【方法与技巧总结】注意判断一个数列是等比数列的方法，另外(2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并（十一）等比数列的定义以及判定：【基础例题】1、已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式【分析】(1)由anSnn及an1Sn1n1转化成an与an1的递推关系，再构造数列an1(2)由cn求an再求bn.解：(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项c1a11，a1a11，a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n. 当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.2、设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，an22an12(an12an)，即bn12bn.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)解由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，an12an32n1，于是，【基础知识总结】【方法与技巧总结】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件， 巧用性质，减少计算，提高解题速度如：对于等比数列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，则amanapaq；若mn2p(m，n，pN*)，则amana.数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，an(3n1)2n2.（十二）等比数列的性质及运用：【基础例题】1、在等比数列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)设公比为q，则q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42，a2a3a4a5a6a2532.2、(1)在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，求a10；(2)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；(3)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.解(1)a4a7a3a8512，解之得或.当时，q532，q2.a11，a10a1q91(2)9512.当时，q5，q.又q为整数，q舍去综上所述：a10512.(2)a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.(3)方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1a1a2a3a41，T4a13a14a15a168，T4T1p31p38，p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024.3、设首项为正数的等比数列,它的前n项之和为80,前2n项之和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的项数解：,得 1+ qn = 82, 即 qn = 81. 代入,得 所以数列an为递增数列,解 , 得所以数列an的项数为 8.4、数列an的前n项和为Sn，a1=1，且an+12Sn1（nN*）。（1）求数列an的通项公式；（2）等差数列bn的各项均为正数，其前n项和为Tn，且T1=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn。解：（1），得即又a1=1，a2=2a1+1=3，即an是首项为1公比为3的等比数列。（十三）等差数列与等比数列的综合运用：【基础例题】1、已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.【分析】(1)可用基本量法求解；(2)可考虑作差an1an.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1.(2)由an1得当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又当n1时，a2，c13.cn.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.【说明】在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差an1an时要注意n2.2、已知数列an满足a1，且an1an0 (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bnaa，试问数列bn中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列；若不存在，说明理由解(1)由a1，an1an0知，当n为偶数时，an0.由，得3(aa)1a.即4a3a1，所以4(a1)3(a1)，即数列a1是以a1为首项，为公比的等比数列所以a1n1n，a1n，故an(1)n1 (nN*)(2)由(1)知bnaa1n11nn，则对于任意的nN*，bnbn1.假设数列bn中存在三项br，bs，bt (rsbsbt，即只能有2bsbrbt成立，所以2srt，2srt，所以23s4ts3r4tr3t，因为rs0，tr0，所以23s4ts是偶数，3r4tr3t是奇数，而偶数与奇数不可能相等，因此数列bn中任意三项不可能构成等差数列3、（07 福建）等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（）由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【说明】本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力满分12分（十四）数列求解要注意首项的特殊性【基础例题】(14分)已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.【基础知识总结】【方法与技巧总结】本题属于一道中等难度，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明bn的首项和公比解第(2)题时未对n1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性，逻辑的严谨性(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式【分析】(1)可以利用等比数列的定义证明bn是等比数列；(2)由anan1f(n)的形式，可以想到利用叠加法(1)证明b1a2a11， 1分当n2时，bnan1anan(anan1)bn1， 5分bn是首项为1，公比为的等比数列 6分(2)解由(1)知bnan1ann1， 8分当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)10分11n211n1， 12分当n1时，111a1，ann1 (nN*) 14分【基础知识总结】【方法与技巧总结】(1)对于等差数列的通项公式及前n项和公式，要注意从公式的正向、逆向以及变式等角度掌握它们等差数列的通项公式及前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题目(2)在已知三个数成等差数列时，要注意“对称设元”、“整体消参”和“设而不求”的方法（十五）等差数列与等比数列的基本运算：【基础例题】是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：abc6.a、b、c成等差数列将a、b、c适当排列后成等比数列解由知2bac，abc3b6，b2，ac4.若a、b、c成等比数列，则b2ac4，ac2，不符合条件若b、a、c(或b、c、a)成等比数列，则a2bc2c，a22a80，解之得：a4或a2。或(舍去)2，4,8或8，4,2成等比存在互不相等的实数，4,2,8或8,2，4使它们同时满足三个条件【变式练习】有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数解：后三个数成等差数列，可设四个数为x，yd，y，yd.由已知，得解得或四个数为9,6,4,2或25，10,4,18.（十六）等差数列与等比