2019-2020年高中数学第一册(上)二项式定理教学实录.doc

2019-2020年高中数学第一册(上)二项式定理教学实录1. 教材分析 1.1 教材内容二项式定理是高中代数下册最后一章（必学）的一个单元. 本课是该单元的第一课，学习该课之前，同学们已基本上学习过高中数学的其它内容，特别是学习了与本课程有关的乘法公式中的平方、立方公式，多项式乘法，数学归纳法，排列组合，组合数公式，组合数性质. 本节课主要通过归纳二次展开式的系数和字母结构的规律猜证二项式定理，并对二项式定理进行初步应用. 1.2 地位与作用二项式定理是二项式定理这个单元的主要内容. 只有学习二项式定理，才能进而学习二项式系数的性质和应用. 二项式定理的应用主要有：求二项展开式或求某特定项；求组合的和和证明组合恒等式；证明不等式；近似计算. 二项式定理与数列等知识可组成综合性题目. 近年高考试题中，不乏涉及到二项式定理的题目. 通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，进一步掌握数学归纳法，感受体验数学美. 1.3 重点、难点重点：猜证二项式定理. 难点：求的展开式和归纳二项展开式的系数规律. 2. 教学目标 2.1 知识目标 掌握的展开式，知道二项式定理的数学归纳法证明. 在教学过程中，让学生树立和掌握归纳思想和数学归纳法等数学思想和方法. 2.2 能力目标 培养学生分析、归纳、演绎能力，猜证能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力，以及由特殊到一般，内一般到特殊的哲学思想. 2.3 感情目标 对学生进行爱国主义教育，激发学生奋发图强、振兴中华的爱国热情. 通过对二项展开式的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美和对称美等数学美. 3. 教学方法 3.1 教法 本课采用“过程教学法”，让学生参与和经历全课的思维过程. 另外，利用计算机辅助教学，便利师生交流，增大师生互动频率密度. 3.2 学法 采用“导学法”. 学生在教师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律. 4. 教学过程与自我评述（以下T为教师，S为学生，C为电脑显示） 4.1 复习引入 C,T：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ S,C：取法及取法种数都不取白球（全取红球）：；取一个白球（1白3红）：；取2个白球（2白2红）：；取3个白球（3白1红）：；取4个白球（无红球）：. T：取法种数再次验证组合数性质：. 顺便问一问，组合数的另一个性质是什么？S：T：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开，展开式中有哪些项？各项系数是什么？S：都不取；取1个；取2个；取3个；取4个，各项系数分别是， .T：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，的乘法抽象一点. T,C： 评述：求的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础.4.2 点明课题T：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式.T,C： 4.3 猜想二项式定理T：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律. C：1. 系数的规律T：下面是，各项的系数，试观察分析其规律. C: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1S1：每行的两端相等，都是1.S2：与首末等距离的两项也相等，中间一项或两项最大.T： 上下两行有什么关系？S3：下一行的第二个数等于上行第一、二个数的和，第三个数等于上行第二、三个数的和T： 对. 下一行除1次外的每个数都等于它肩上两个数的和. 根据这两条规律，大家能写出，的系数吗？S： 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1C： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1T： 上面这个表称杨辉三角，它是宋朝数学家杨辉的杰作. 杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它比欧洲人称为帕斯卡三角要早四百多年. 当幂指数较小时，应用杨辉三角非常简便. 但当较大时，它就表现一定的局限性. 如时，要依赖展开式的各项系数. 而且展开式的系数，也不好用类似的数字表达. 要解决这个问题，同学们从展开式的系数得到什么启示吗？S,C： ， ，T： 你能猜想展开式的系数吗？S,C： ， C： 2. 关于字母及其幂指数的规律T： 同学们通过观察展开式，能否发现、的结构规律？S： 的指数由4逐一减少到0；而的指数内0逐一增加到4. 每一项、的指数和都是4，即，.T： 据此，请说出的展开式.S,C：T： 那么在的展开式中，大家能猜想出、的指数规律吗？S,C：、的指数规律的指数，从逐一减少到0，且等于组合数的下标上标；的指数，从0逐一增加到，且等于组合数的上标. 每一项的指数与的指数之和等于.T： 牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理. S,C：猜想：.评述：1.认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点. 2.如何将杨辉三角表示的二项式系数转换到用组合数来表达，课前复习中导出的起到了很好的联系作用. 有了这个转化，就可以进而猜想出二项式的系数. 3.杨辉三角是我国数学发展史的一个亮点，是中国作为文明古国的一个例证. 以光荣史实作为题材，对学生进行爱国主义教育，也是数学教学的一个任务. 4.4 证明二项式定理T： 大胆猜想，科学求证. 下面我们用数学归纳法证明二项式定理. T,C：证明：（1）略 （2）假设当时等式成立，即 则当时 T： 我们在变换之前，应该先明确证明目标：S,C：T： 对，这是我们要证明的目标. 对照这个目标，需要作多项式的乘法. 下面请同学们进行乘法运算. 乘完后，看有什么情况？如何处理才能一步一步向证明目标靠拢？（待学生运算结束后）T： 大家发现有什么情况？S： ，各有两项，各有一项.T： 对，如何处理同类项？S： 合并同类项.T,C： T： 请同学们观察合并的系数与证明目标中的系数有什么关系？S,C：理应相等，即应有：，T： 上面诸等式成立的依据是什么？S： 组合数性质T,C：应用组合数性质：以及，则得到 （以下证明略）评述：1.在数学归纳法证明过程中，在证明当时命题成立之前，往往先列出证明目标，这样做，目标明确，少走弯路. 2.此处证明应用组合数性质：，在复习时已提到过，也算是前呼后应. 4.5 对公式的再认识T,S,C：1.通项公式： 2.规律：（1）项数：项 （2）二项式系数：，即，与首末等距离的两项的二项式系数相等. （3）、的指数（略）4.6 公式的初步应用【学生练习】1. 写出的展开式（解略）2. 写出的展开式（略）3. 写出的展开式（略）4. 求展开式中的第3项解：5. 求展开式中的第3项解：T： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？S： 公式中的、不能互换. T： 对. 求整个展开式，、可以互换，但求某一项时，、不能互换.T： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？S： 15，2160. 两者不同.T： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别.4.7 小结T,C：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理. 2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想和数学归纳法. 3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律. 4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美. 4.8 作业（略）