2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 1.1位移、速度和力、1.2向量的概念 新人教A版必修4.doc

2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 1.1位移、速度和力、1.2向量的概念 新人教A版必修41问题导航(1)“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法对吗？(2)零向量没有方向是否正确？单位向量都相等吗？(3)两个向量能比较大小吗？2例题导读P75例通过本例学习，巩固相等向量、共线向量的概念，学会从已知图形中找出与指定向量相等或共线的向量试一试：教材P75习题21 T4你会吗？1向量的定义既有大小，又有方向的量统称为向量注意：向量与数量的区别在于数量没有方向，而向量有方向2向量的表示方法3向量的长度(模)|(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)且|a|0.4与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0，且方向不定，0与任一向量平行单位向量长度为单位1的向量叫作单位向量，与向量a同方向的单位向量叫作a方向上的单位向量，记作a0，且|a0|1相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作ab(注：相等向量一定是共线向量)平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线a与b平行或共线，记作ab零向量与任一向量平行(注：共线向量不一定是相等向量)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)大小相等的两个向量是共线向量()(2)向量的模是一个实数()(3)若ab，则a与b的方向一定相同或相反()解析：(1)错误方向相同或相反的非零向量才是共线向量(2)正确(3)错误当a或b不为零向量时，若ab，则a与b的方向一定相同或相反；当a，b中至少有一个是零向量时，该说法不成立答案：(1)(2)(3)2下列各量：密度；浮力；温度；拉力，其中是向量的有()A BC D解析：选C.由向量的概念可知浮力和拉力是向量，密度与温度是数量3.如图，AC与BD相交于点O，则下列各选项中是相等向量的是()A.与B.与C.与 D与解析：选D.因为，所以四边形ABCD为平行四边形所以AC与BD的交点O为BD的中点，所以.4如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有_，与共线的向量有_解析：在平行四边形ABCD和ABDE中，因为，所以与相等的向量为，；由图知与向量共线的向量有，.答案：，1向量与数量的区别和联系向量数量区别方向有无表示方法可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示因为实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示实例位移、力、速度、加速度年龄、身高、长度、面积、体积、质量、功联系(1)向量与数量都是有大小的量(2)向量的模是数量2向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段3共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量4注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆向量的概念给出下列命题：若|a|b|，则ab或ab；向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量其中正确命题的序号是_(链接教材P75练习T2)解析错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系错误.0的模|0|0.正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的答案方法归纳(1)向量中相关概念的区别单位向量、零向量是用向量的长度来定义的零向量方向不确定，不是没有方向，而是任意方向；向量中平行和共线是一个概念，向量可以平移，任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上；共线向量是用基线的平行或重合来定义的，相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，区别在于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大小关系不确定，方向相同还是相反也不确定(2)要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键1(1)在下列说法中，正确的是()A两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B模为0的向量与任一非零向量平行C向量就是有向线段D两个有公共终点的向量一定是共线向量(2)下列各组是不是向量，如果是向量，说明这些向量之间有什么关系？两个三角形的面积；桌面上两个物体各自受到的重力；小船驶向对岸的速度与水流速度解：(1)选B.在选项A中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；在选项C中，向量与有向线段是两个不同的概念；在选项D中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线(2)面积只有大小，没有方向，故不是向量重力既有大小又有方向，故是向量，并且两向量方向相同，所以为共线向量速度既有大小，又有方向，故是向量因为两向量方向既不相同也不相反，故不是共线向量向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45处；(2)，使|4，点B在点A正东处；(3)，使|6，点C在点B北偏东30处(链接教材P75练习T1，T3)解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示方法归纳用有向线段表示向量的步骤及注意事项(1)用有向线段表示向量的步骤(2)注意事项有向线段书写时要注意起点和终点的不同，字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头2(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且|，画出所有的向量.(2)在直角坐标系xOy中，用有向线段表示下列向量：|4，AOx60，AOy30；|3，BOx30，BOy120.(3)一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点作出向量，；求|.解：(1)画出所有的向量，如图所示(2)所求向量如图所示(3)如图所示：由题意，易知与方向相反，故与共线，即ABCD.又|，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|200(千米)共线向量与相等向量(1)如图所示，已知AD3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量的个数为()A3 B4C5 D6(2)如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：与，相等的向量；与共线的向量(链接教材P75例)解(1)选D.根据题意可得：模等于2的向量有，模等于3的向量有，.故图中长度大于1的向量共有6个(2)，.与共线的向量为：，.本例(2)中条件不变，写出与模相等的向量解：与模相等的向量有：，.方法归纳相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若ab，bc，则可推出ac.提醒：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况3(1)如图，在等腰梯形ABCD中与是共线向量；.以上结论中正确的个数是()A0 B1C2 D3(2)给出下列说法：|；若a与b方向相反，则ab；若，是共线向量，则A，B，C，D四点共线其中所有正确的序号是_(3)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.与a的模相等的向量有多少个？与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？与a共线的向量有哪些？请一一列出与a，b，c相等的向量解：(1)选A.因为与的方向不相同，也不相反，所以与不共线，即不正确；由可知也不正确；因为两个向量不能比较大小，所以不正确(2)与是长度相等，方向相反的向量，故模相等，正确；由共线向量定义知，方向相反的向量为共线向量，故正确；共线向量指方向相同或相反的非零向量，向量，是共线向量，也可能有ABCD，故是错误的故填.(3)与a的模相等的向量有23个与a的长度相等、方向相反的向量有，.与a共线的向量有，.与a相等的向量有，与b相等的向量有，与c相等的向量有，.易错警示对向量的有关概念理解不准致误给出下列几种说法：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若，则ABCD是平行四边形；平行四边形ABCD中，一定有；若ab，bc，则ac.其中正确的有_(填所有正确说法的序号)解析错误两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同正确错误若，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上所以ABCD不一定是平行四边形正确平行四边形ABCD中，ABDC，ABDC且有向线段 与方向相同，所以.错误若ab，bc，b0，则a与c不一定平行答案错因与防范(1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解不正确或将向量与有向线段混淆，会对判断错误；混淆向量平行和直线平行，会导致对判断错误；忽视零向量与任意向量平行，会导致对判断失误(2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小和方向两个角度分析问题共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量理解时要注意与平面几何中的“共线”“平行”的区别要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点就会出现错误4(1)下列命题中，正确的是()A|a|1a1B|a|b|且ababCababDa0|a|0(2)已知圆心为O的O上三点A，B，C，则向量，是()A有相同起点的相等向量B长度为1的向量C模相等的向量D相等的向量解析：(1)选C.两向量的模相等两向量不一定相等，也不一定方向相同或相反，0与任一向量平行(2)选C.圆的半径r|，不一定为1，故选C.1下列说法正确的是()A向量可以比较大小B平面直角坐标系中的x轴和y轴都是向量C有向线段就是向量D体积、面积和时间都不是向量解析：选D.对于选项A，向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段来表示，但不能比较大小，故选项A错误；对于选项B，x轴和y轴只有方向，没有大小，故选项B错误；对于选项C，从向量与有向线段的定义知，它们是有区别的，故选项C错误；对于选项D，体积、面积和时间都是只有大小，没有方向的量，故选项D正确2如图所示，C，D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为()A3 B6C8 D12解析：选B.1个单位长度的向量有， 6个；2个单位长度的向量有， 4个；3个单位长度的向量有， 2个因此，共64212个，但其中，因此互不相等的向量有6个3如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是_解析：题图中共有四个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量有两个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相同或相反)，故满足条件的向量共有8个答案：8, 学生用书单独成册)A.基础达标1下列说法正确的个数是()零向量没有方向；单位向量的方向任意；长度为1 cm的向量是一个单位向量；与一个非零向量共线的单位向量有两个A0 B1C2 D4解析：选B.零向量的方向任意，不是没有方向，故不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故不正确；单位向量长度为1个单位长度，而1 cm不一定等于1个单位长度，故不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故正确2如图，D，E，F分别是ABC边AB，BC，CA的中点，有下列4个结论：，；|；.其中正确的为()A BC D解析：选B.因为D，E，F分别为ABC边AB，BC，CA的中点，所以EF綊ABAD，AF綊DE，DFCB，DE綊CF，故正确3已知A与a共线的向量，B与a长度相等的向量，C与a长度相等，方向相反的向量，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是()ACA BABaCCB DABa解析：选B.因为AB中还含有与a方向相反的向量，故B错4下列说法正确的是() A若|a|b|，则abB若|a|b|，则abC若ab，则a与b共线D若ab，则a一定不与b共线解析：选C.A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|b|，但a与b的方向不确定，不能说ab，A不正确；同理B错误；D中，ab，a可与b共线故选C.5把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为()A4 BC2 D3解析：选D.图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环(2212)3.6已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线又因为m与，都共线，所以m0.答案：07若|且，则四边形ABCD的形状是_解析：在四边形ABCD中，则ABCD为平行四边形，又|，所以四边形是菱形答案：菱形8.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且|2，|5，则|_解析：过D作DHAB，分别交EF，BC于点G，H，因为|2，所以|2，又|5，所以|3，又E，F分别为腰AB，DC的三等分点，所以G为DH的三等分点，所以，且|，所以|1，所以|213.答案：39在平面上有一个四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：.证明：如图，连接AC，在ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，所以|，且与的方向相同同理可得|，且与方向相同，所以|且与方向相同，所以.10如图所示，43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个？(2)与方向相同且模为3的向量共有几个？解：(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)如图(2)与向量方向相同且模为3的向量共有2个，如图B.能力提升1.如图，在菱形ABCD中，DAB120，则以下说法错误的是()A与相等的向量只有一个(不含)B与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为模的倍D.与不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同两向量共线只要求方向相同或相反D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线2给出下列说法：若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；若向量是单位向量，则向量也是单位向量；两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同其中正确说法的个数为()A0 B1C2 D3解析：选C.由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故不正确；因为|，所以当是单位向量时，也是单位向量，故正确；据相等向量的概念知，是正确的3若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是_解析：据题意画出图形如图所示，由图可知|5 km，且ABC45，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km.答案：西北方向5 km4给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0，其中能使ab成立的条件是_解析：因为a与b为相等向量，所以ab，即能够使ab成立；由于|a|b|并没有确定a与b的方向，即不能够使ab成立；因为a与b方向相反时，ab，即能够使ab成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|0或|b|0时，ab能够成立故能使ab成立的条件是.答案：5.如图，在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且，求证：.证明：因为，所以|，且，所以四边形ABCD为平行四边形，所以.因为M，N分别是BC，AD的中点，所以|，|，所以|.又因为，所以四边形AMCN是平行四边形，所以，|，且，方向相同，所以.6(选做题)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量、表示“马”走了一步试在图中画出“马”在B、C处分别走了一步的所有情况解：如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法