2019-2020年高中数学 章末综合能力测试2 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学 章末综合能力测试2 新人教A版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4C2 D2解析：由等差数列性质及前n项和公式，得S84(a3a6)4a3，所以a60.又a72，所以公差d2，所以a9a72d6.答案：A2等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. BC. D解析：设公比为q，S3a210a1，a59，解得a1，故选C.答案：C3若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列解析：设数列an的公差为d，则由题意知，d1，设cna2n12a2n，则cn1a2n12a2n2，cn1cna2n12a2n2a2n12a2n6d6.答案：C4在等差数列an中，a10，a18a190，则an的前n项和Sn中最大的是()AS8 BS18CS17 DS9解析：a10，a18a190，a180，a190.S18最大答案：B5已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)解析：由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以S103(1310)答案：C6数列an的通项公式是an(nN*)，若其前n项的和Sn为10，则项数n为()A11 B99C120 D121解析：an，Sn()()()，10，11.解得n120.答案：C7已知数列an的通项公式anlog3(nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn4成立的最小自然数n等于()A83 B82C81 D80解析：Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)34180.故选C.答案：C8数列1，2，3，4，的前n项和为()A.(n2n2)B.n(n1)1C.(n2n2)D.n(n1)2解析：Sn(123n)1(n2n2)，故选A.答案：A9设数列an是公差不为0的等差数列，a11且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A. B.C. Dn2n解析：由a1，a3，a6成等比数列可得aa1a6，设数列an的公差为d(d0)，则(12d)21(15d)，而d0，故d，所以Snn.答案：A10已知Sn为等比数列an的前n项和，a12，若数列1an也是等比数列，则Sn等于()A2n B3nC2n12 D3n1解析：设an的公比为q，数列1an是等比数列，(1a2)2(1a1)(1a3)，(12q)23(12q2)，q1，Sn2n.答案：A11设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析：设ykxb(k0，k，b为常数)f(0)1，b1.又f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，(4k1)2(k1)(13k1)，k2，y2x1，f(2)f(4)f(2n)22124122n12(242n)nn(2n3)答案：A12某容器中盛满10 kg的纯酒精，倒出2 kg后再补上同质量的水，混合后再倒出2 kg，再补上同质量的水，倒出n次后容器中纯酒精的质量为()A8n1 kg B8n kgC8n1 kg D8n1 kg解析：可以求出第一次倒出后容器中的纯酒精质量为1028(kg)；第二次倒出后容器中的纯酒精质量为8(kg)；第三次倒出后容器中的纯酒精质量为82(kg)，可归纳出第n次倒出后容器中的纯酒精质量为8n1(kg)答案：A二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13等差数列an中，a3a72a1540，则S19_.解析：由a3a72a1540，得2a52a1540，从而得a1a1920，所以S19190.答案：19014在等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则_.解析：设等比数列an的公比为q.数列an各项都是正数，故q0.由a1，a3,2a2成等差数列，知a3a12a2，即a1q2a12a1q，q22q10，解得q1，q232.答案：3215某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.答案：616设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_.解析：anSnSn1(1)nan(1)n1an1，an(1)nan(1)n1an1.当n为偶数时，an1，当n为奇数时，2anan1，当n4时，a3.根据以上an的关系式及递推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).答案：(1)(2)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知an是一个等差数列且a2a84，a62.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn的最小值解析：(1)设an的公差为d.a2a82a5，a2a84，a52，又a62，da6a54.a118.ana1(n1)d4n22.(2)Snna1d2n220n2(n5)250，n5时，Sn取得最小值50.18(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a12，Snn2n.(1)求数列an的通项公式；(2)设的前n项和为Tn，求证：Tn0，即Tn1.19(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)2x1的图象上，数列bn满足bnlog2an12(nN*)(1)求数列an的通项公式(2)当数列bn的前n项和最小时，求n的值，并求出前n项和的最小值解析：(1)由题意，得Sn2n1(nN*)，当n2时，anSnSn12n2n12n1.当n1时，a1S11，也适合通项an2n1(nN*)(2)方法一：因为bnlog2an12n13，所以数列bn是等差数列所以数列bn的前n项和Tn2.所以n12或n13时，数列bn的前n项和最小，且最小值为78.方法二：由bnn13知，当1n12时，bn0.故当n12或13时，数列bn的前n项和最小，且最小值T12T1378.20(本小题满分12分)数列an中，a12，an1ancn(c是不为零的常数，n1,2,3，)，且a1，a2，a3成等比数列(1)求c的值；(2)求an的通项公式；(3)求数列的前n项之和Tn.解析：(1)a12，a22c，a323c.a1，a2，a3成等比数列，(2c)22(23c)，解得c0或c2.c0，c2.(2)当n2时，由于a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，ana112(n1)cc.又a12，c2，故有an2n(n1)n2n2(n2,3，)当n1时，上式也成立，ann2n2(n1,2,3)(3)令bn(n1)n，则Tnb1b2b3bn022334(n1)n，Tn0324(n2)n(n1)n1.由得Tn1n11.21(本小题满分12分)已知某大学有1 000名学生，他们每到周末或者自费去学电脑或者从事家教，第一个周六学电脑和从事家教的各有500人，经调查显示，凡是在某周六学电脑的学生下周六20%改成从事家教；而从事家教的下周六有30%改成学电脑，设An与Bn分别表示第n周学电脑与从事家教的学生人数(1)试用An表示An1；(2)从第几周开始，星期六学电脑的人数将超过590人？解析：(1)由题意得An180%An30%Bn，又AnBn1 000，消去Bn，得An1An300.(2)由(1)，An1An300，An1600(An600)又A1500，An600是以100为首项，为公比的等比数列An600100n1，An600100n1590.n1log210.又nN*，n5.从第5周开始，星期六学电脑的人数将超过590人22(本小题满分12分)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn.解析：(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于数列an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上可知，数列an的通项an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.Tn.