2019-2020年高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版.doc

2019-2020年高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(xx锦州高二检测)下列说法正确的是()演绎推理是由一般到特殊的推理；演绎推理得到的结论一般是正确的；演绎推理的一般形式是“三段论”形式；演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故错误，其他说法都正确.2.(xx菏泽高二检测)下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量实验得出掷硬币出现正面的机率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检验溶液的PH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义来判断某函数是否为周期函数【解析】选B.由题设及推理知识知，A是归纳推理.C，D都是演绎推理.B是类比推理.3.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是()A.演绎推理B.归纳推理C.类比推理D.以上都不对【解析】选B.由部分推断全体，是归纳推理.4.(xx珠海高二检测)若ab0，cdB.D.b0，cd-d0，所以-ac-bd0，即ac0，所以，即0，即m1.由f(1-x)-1得(1-x)2-2(1-x)+m-1，即m-x2因为-x20，故0m0，b+c0，c+a0，则f(a)+f(b)+f(c)的值一定()A.大于0B.小于0C.等于0D.正负都有可能【解析】选A.因为f(x)为奇函数且为增函数，又因为a+b0，所以a-b，所以f(a)f(-b)，即f(a)+f(b)0，同理f(a)+f(c)0，f(b)+f(c)0.所以2(f(a)+f(b)+f(c)0，所以f(a)+f(b)+f(c)0.10.用反证法证明“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，应假设()A.a，b，c中至多有一个是偶数B.a，b，c中至少有一个是奇数C.a，b，c中全是奇数D.a，b，c中恰有一个是偶数【解析】选C.“a，b，c中至少有一个是偶数”包括“a，b，c中有一个或2个或3个偶数”，其反面是a，b，c中没有偶数，即全是奇数.11.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为()A.a=，b=c=B.a=b=c=C.a=0，b=c=D.不存在这样的a，b，c【解析】选A.令n=1，2，3，得所以a=，b=c=.12.(xx青岛高二检测)观察下列各式：|x|+|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|+|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为()A.76B.80C.86D.92【解析】选B.通过观察可以发现|x|+|y|的值为1，2，3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数分别为4，8，12，可推得当|x|+|y|=n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|+|y|=20时的不同整数解的个数为420=80.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(xx聊城高二检测)已知x，yR且2x+2y=1，则x+y的取值范围为_.【解析】因为2x+2y=12，所以2x+y=2-2，所以x+y-2.答案：(-，-214.(xx全国卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.【解题指南】丙拿的卡片上的数字不是“2和3”，只能是1和2，1和3，分类讨论.【解析】由题意得：丙不拿(2，3)，若丙(1，2)，则乙(2，3)，甲(1，3)满足，若丙(1，3)，则乙(2，3)，甲(1，2)不满足，故甲的卡片上的数字为1和3.答案：1和315.观察下列等式：i=n2+n，i2=n3+n2+n，i3=n4+n3+n2，i4=n5+n4+n3-n，i5=n6+n5+n4-n2，i6=n7+n6+n5-n3+n，ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+a1n+a0， 可以推测，当k2(kN*)时，ak+1=，ak=，ak-1=_，ak-2=_.【解析】由题意知，当k=2，3，4，5，6时，ak-1分别为，即，可以推测ak-1=.当k=2，3，4，5，6时，ak-2分别为0，0，0，0，0，可以推测ak-2=0.答案：016.(xx临沂高二检测)观察下图：12343456745678910则第_行的各数之和为xx2.【解析】第1行各项和为1=12；第2行各项之和为9=32；第3行各项和为25=52；第4行各项之和为49=72；即第n行各项之和为(2n-1)2.令2n-1=xx得n=1009.答案：1009三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在正实数数列an中，a1=1，a2=5，且成等差数列.证明数列an中有无穷多项为无理数.【证明】由已知有：=1+24(n-1)，从而an=，取n-1=242k-1，则an=(kN*).用反证法证明这些an都是无理数.假设an=为有理数，则an必为正整数，且an24k，故an-24k1，an+24k1，与(an-24k)(an+24k)=1矛盾，所以an=(kN*)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数.18.(12分)(xx德州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.sin213+cos217-sin 13cos 17；sin215+cos215-sin 15cos 15；sin218+cos212-sin 18cos 12；sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48；sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.(2)根据(1)中结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】(1)选择式，计算如下：sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下：sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin)=sin2+cos2+sincos+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.19.(12分)(xx泉州高二检测)已知a0，b0，用分析法证明：，【证明】因为a0，b0，要证，只要证，(a+b)24ab，只要证(a+b)2-4ab0，即证a2-2ab+b20，而a2-2ab+b2=(a-b)20恒成立，故成立.20.(12分)已知ab0，求证：b0，所以-0，a-b0.所以要证成立，只需证-成立，只需证2-2ba-b成立，即证20成立，而(-)20显然成立，故(-)2成立.21.(12分)(xx西安高二检测)直线y=kx+m(m0)与椭圆W：+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长.(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.【解析】(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A，代入椭圆方程得+=1，即t=，所以AC=2.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且ACOB.由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则=-，=k+m=.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为-.因为k-1，所以AC与OB不垂直，所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.22.(12分)(xx昆明高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求+的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=41，f(3)-f(2)=8=42，f(4)-f(3)=12=43，f(5)-f(4)=16=44，由以上规律，可得出f(n+1)-f(n)=4n，因为f(n+1)-f(n)=4n，所以f(n+1)=f(n)+4n，所以f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=f(n-(n-1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+4n-(n-1)=2n2-2n+1.(3)当n2时，=，所以+=1+=1+=-.