2019-2020年高三数学 4.3数系的扩充(备课资料)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 4.3数系的扩充(备课资料)大纲人教版选修备课资料从数学本质解读数学课程改革从整个数学教育发展的历史来看,无论是古希腊的数学教育,还是当今的数学课程改革,对数学的本质的理解和认识,直接影响和制约着数学课程与教学的进展.近年来,倍受关注的“新数运动”“大众数学”“问题解决”等数学教育改革口号的提出，以及目前我国正在进行的数学课程改革，都与人们对数学本质的认识密切相关.随着数学课程改革的理论与实践的不断深入发展,从数学本真特质出发,以是否利于有效地促进每位学生的发展为价值尺度,从深层次上对数学课程改革中的有关理论问题探讨和研究,具有极其重要的现实意义.1.数学的本质特征对于事物的本质,人们通常会认为是最需要弄清的事实,也是最基本的.但是,最基本的也是最不易澄清的.对于数学本质的理解更是如此.数学家、数学哲学家对数学本质的认识一直没有一个统一的结论.这也就体现在课程改革中,数学历来是各界人士,其中包括数学(教育)界内部争议最大的一门学科,究其根由,一方面是数学重要,引起社会各界人士的关注,另一方面是各行各业都需要但又对数学需求的层次不尽相同,而更核心的问题则是人们对数学的理解和认识上的差异.对数学本质的认识不外乎是数学中的经验主义与理性主义传统之争.虽然至今对数学是经验性或演绎性没能形成一个统一的认识.近年来,各种纷争虽看法不一1,或是各自发展了自己的观点,或是形成了一些折中的观点,让人们逐渐澄清了许多对数学的模糊认识,从多角度、多层面加深了对数学本质多元性的理解和认识.对数学本质的研究在一定程度上也促进了数学的发展.由古希腊时代发展起来的数学传统,充分肯定了演绎的真理性.从一组不加证明的基本命题和不加定义的概念出发,运用逻辑运算的规则形成了一个演绎体系.这种演绎法进一步发展成为数学中一种一般化的方法公理化方法,不仅使数学成为人类直接应用逻辑的力量探索现实世界独一无二的科学,同时也使得数学从此开始成为一个严密的、抽象性形式体系.由于数学中各个分支中演绎法的重要性日渐突出,特别是公理化方法的发展,原先从现实空间中抽象出点、线、面作为不加定义的原始概念,和一些具有直观意义的基本关系作为公理的方法,发展到形式公理阶段的原始概念不需要具有任何直观意义,可以代表任何东西.公理只要满足系统的无矛盾性就可以了,为了使得公理体系简洁,只要作为公理的命题不能相互推出,独立性、完备性即可.这样数学经过一次次的抽象后,无论是数学研究的对象,还是数学研究的目的,都已远离了现实.在一些人看来,数学已与现实世界无关,已由具有现实原型的具体公理系统进入了脱离现实原型的抽象的形式系统的研究,数学已经突破日常概念中的“数量”和“关系”，研究的对象只有一种逻辑上的可能，脱离感性直观，只有经过解释才能在现实中找到模型，表明其现实性.数学似乎完全成为理性的创造物,抽象性、严谨性和形式性在一定时期成了数学区别于其他科学的根本标志.集合论的创始人康托为此欢呼:“数学的本质在于自由.”在许多人的思想观念中,数学只是用纸和笔所做的符号游戏.数学(教育)界一直流传着阿基米德专心于沙地上的几何图形而不顾生命之危的动人故事.这给人们的印象是:“数学研究只需要用极少数的工具,或许只要一堆沙子,再加上一个非凡的头脑.”长期以来,人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题,数学活动只是高度的抽象思维活动.有些数学家甚至认为,一个孤独的人借助卓越的柏拉图式的智力资源, 在黑层子里也能搞数学.2确实,数学与物理、化学、生物等自然科学有着很大的差别.数学不需要大量的实验设备,所需要的主要是“思想实验”.但是绝不能说数学研究完全是在头脑里进行的.数学既不像有些数学家所认为的是同经验无关的纯逻辑体系，也不完全是经验的总结.康德认为，一切科学知识都是从经验开始的，“凡吾人之一切知识，皆以经验始”，但同时又说，“严格称为命题，常为先天性的判断而非经验的：盖因其具有不能自经验得来之必然性”.他认为数学命题是由先天的经验和先天的形式结合而成的，是一种“先天综合判断的光辉之例证”.3事实上,数学的经验性也是数学的一个很重要的来源,特别是计算机的出现改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式,给数学家的工作带来了最先进的工具.著名数学家和数学教育家波利亚曾精辟地指出:“数学有两个侧面,一方面它是欧几里德式的严谨科学,从这个方面看,数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学,看起来却像是一门试验性的归纳科学.”4从数学发展的历史进程来看,数学一直沿着纯数学和应用数学两个方向发展.一方面,数学是一种抽象性、严谨性的逻辑体系,是一个符号化的形式系统.数学的起源和发展并不是为了实际运用,往往只是一些数学家的个人爱好,美的追求,仅仅是为了数学本身而研究数学;另一方面,又有的数学家认为数学是来源于经验,是应用最为广泛的科学,现代社会无一不用到数学.对数学的认识常常在这对立的两极之间徘徊,不能取得一致的认识,也许根本就没有可能也没有必要完全统一的认识.美国著名数学家柯朗在其饮誉世界的名著数学是什么中深刻而简洁地说明了数学的这种独特性,他写道：“数学作为人类智慧的一种表达形式,反映生动活泼的意念、深入细致的思考以及完美和谐的愿望.它的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性.虽然不同的传统学派各自强调不同的侧面,但是只各有双方的力量相互依存和相互斗争,才能真正形成数学科学的生命力、可用性,以及至上的价值.”5一方面,数学以严密的演绎思维、逻辑推理为手段的研究方式充分发挥了人的心智的功能,满足了人们求真、向善、唯美并乐于接受挑战的美好天性,从而又使数学具备了抽象的心智训练价值(或理性价值);另一方面,由数学的经验性和实践性衍生出来的数学应用的广泛性,直接决定了数学的应用价值.2.数学课程史上的两种取向对数学本质的理解和认识随着时代的发展而发展,直接影响到数学家对数学的研究.“如果认为数学是一门演绎的科学,那么他就不会去关心实践提出的问题,而专注数学的逻辑问题;反之,如果认为数学是一门经验的科学,他就不会去关注逻辑问题,而关心实践提出的问题;如果他认为数学是一门经验与演绎辩证统一的科学,他就会既关心实践提出的数学问题又关心数学的逻辑问题.”6同样,这种对数学本质不同的认识也直接影响到数学课程的发展.在西方,最典型的教材几何原本按照严密的逻辑体系进行编排,这一传统占据统治地位.古希腊的先贤智者十分重视数学对心灵的启迪,目的是为了陶冶情操、追求真理和训练心智.他们认为,数学是一门演绎的科学,是哲学家所追求的真理总体的一部分.公元前386年,柏拉图创办了一所学校,教学内容为“四艺”,尤其重视数学学科的学习,传说柏拉图在学校门口写着这样几个字:“不懂几何的人请不要入内.”柏拉图之所以这样推崇数学,把它列为“四艺”之首，是因为在他看来，“四艺”中的天文、音乐、乐理只不过是数学的分支.学习数学为了使心灵“超然于变化的世界之上而把握本质”,了解“关于永恒存在的知识”，进而“掌握善的本质和形式，使之永远想到神”.柏拉图主义认为数学的对象属于“理念世界”，与“感性世界”无关，一切理想化的数学概念来自于“数学天国”（理念世界）7.数学教育的目的并不是为了实际生活的需要，而是为了启发学生对他的所谓绝对理念的认识和感悟，因而被认为是高尚的文雅的教育，不需要带有实用性和功利性.在他看来，经验自然科学无益于接近神，反而亵渎了神.早期的学校教育是从社会上层建筑、意识形态分化出来的传统的人文教育和宗教教育.这种教育与社会的物质生产劳动相脱离,其功能一方面培养和选拔统治阶级的接班人,另一方面在于教化民众,以维护社会的安定和秩序.柏拉图时代的数学教育最高的目标是为了培养“哲学王”,反映了其历史的合理性和局限性.文艺复兴是继古希腊之后在科学、文学、艺术、思想方面全面取得伟大成就的时期.恩格斯评价说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的、进步的变革,是一个需要巨人而且产生了巨人在思维能力、热情和性格方面,在多才多艺和学识渊博方面的巨人的时代.”社会性质的转折以及科学、文学、艺术的全面兴盛,教育也发生了重大变革.代表新兴资产阶级要求的人文主义一反中世纪宗教教育对人性的压抑和禁锢,主张尊重与发展人的个性,培养身体健壮、知识丰富、积极参加日常生活的资产阶级新人.意大利的弗吉尼奥是文艺复兴初期第一个表述人文主义思想的人.他的忠实继承者和实践者维多里诺明确提出要培养身心和谐发展的人,主张将智育、德育、体育、美育结合起来,并在曼托瓦郊外办了一所名为“快乐之家”的学校,开设了数学课,采用游戏方法教算术,测量绘图的方法教几何,完美地体现了人文主义的教育思想.数学之所以受到人文主义教育家的重视是因为数学中的“纯粹知识”(非实用的)与博雅学科一样,有助于人的心灵和谐发展.随着工业与科学的不断发展,社会对各种科技人员的需求剧增.一般文化陶冶,不注意知识的实用价值的教育越来越不能适应社会发展的需求.因此培养有科学素养的公民成为学校教育的首要任务,逐渐形成了科学主义的教育观.1901年英国皇家学院教授培利在英国科学促进会的一次演说中,以激烈的言词抨击当时的数学教育制度,尖锐地指出数学教育应面向大众,注重实用,绝不允许“为培养一个数学家而扼杀千万儿童的精神”.这一观点与德国的大数学家克莱因的教育改革主张汇合在一起,被称之为“培利运动”,其影响遍及欧洲各国、日本以及大洋彼岸的美国.这一教育改革运动深受英国教育家、哲学家斯宾塞功利主义的影响.他竭力批判“装饰性”知识,提倡实用科学知识,提出了“教育为完满生活做准备”.“知识价值论”认为“什么知识最有价值?一致的答案就是科学”.17、18世纪是近代数学的奠基时期,也是一个经济腾飞的时代,马克思指出：“社会一旦有技术上的需要,则这种需要就会比10所大学更能把科学推向前进.”数学教育的发展深受当时社会经济文化的影响,对传统的人文主义教育提出了挑战.所有的经济行业无不在迫不及待地使用机械,而许多问题都与数学问题有关.航海业的繁荣,向数学提出了如何精确地测定经度问题;采矿业的发展,衍生出通风、排水、输送等力学问题常需要数学的帮助;军事技术的发展,离不开数学提供准确的定量分析.17世纪初,出于航海实践的需要,英国的格雷山姆学院开设了数学课程,从实际需要出发讲授数学.欧洲启蒙运动是人类知识革命时代,为科学发展创造了条件,其思想倾向是一切要诉诸于理性的批判,相信理性能解决问题,认为经验是一切知识的来源.18世纪,法国数学的一个很重要的特征是：“工作的目标不是数学,而是求解物理问题;数学是达到物理目的的一种方法.”几乎所有的数学家都是在天体力学研究中开辟和发展数学领域的.17世纪解析几何学及微积分的建立虽然扩大了数学研究的成果,但是,并没有改变数学主要是一门实用的计算技术的状态.当时很少有专业的数学家,大多数是因为解决实际问题的需要来研究数学.因而数学教育也就自然而然地走上了注重实际应用的轨道.数学作为科学的工具在现代科学技术的发展中所发挥的前所未有的巨大作用,使得人们从更不广阔的视野来认识数学,特别是利用计算机成功地解决“四色图问题”,对数学领域产生了巨大的影响,甚至动摇了人们传统的数学信念.那些曾在中学时代学过计算机程序课程的,能像打电话和骑自行车一样用计算机的新一代数学家已成长起来了,数学研究从此发生了某种变化2.在计算机上进行计算和模拟实验已成为一种新的科学方法,极大改变了数学家的工作方式,“并且还意义深远地改变了我们对什么是数学问题的满意的解的观念计算机正在数学家工作的所有阶段,特别是在探索和实验阶段,提供了十分实际和有效地帮助.”8一些数学家“正在创立一种新的做数学的方法,即主要通过计算机实验从事新的发现.由于这种研究方法是与传统方法很不相同的,因此,在这些数学家看来,计算机的使用正在改变数学的性质,数学正在成为一门实验科学”.9中国古代的数学以九章算术为代表，以算法体系和“问题”为中心展开,注重的是实用,主要结论是在实践中通过观察、实验、然后归纳、分析而来,不重视严密的体系.在数学教育方面,数学的价值始终体现在实际应用上,心智训练价值基本上被忽略,哲学思想上的辉煌成就没能使数学避免被贬为雕虫小技的命运.哲学家们失去了探索自然界的量化本质的机会,数学被社会遗弃,并且被蒙上了东方神秘主义色彩.以解决实用性的问题为主线,虽有高深的运算,领先的结果,但是基本上没有能够抽象出理性的概念,并形成完整的体系.值得注意的是,这一传统在近现代发生了逆转:中国的数学教育受苏联的影响,走上了与中国数学传统相反,追求严密化、形式化的道路;而西方则因资产阶级工业革命的兴起,数学在现代科学技术中的广泛运用日益突显,数学教育走向了重视经验性、实用性的道路.3.对数学课程改革的几点思考通常将数学看成是演绎科学的典范,这在相当程度上归功于欧氏(平面)几何的学习受到的数学思维训练紧密相关.现代数学哲学的研究表明,数学是拟经验的,数学的本身正以前所未有的“纯数学与应用数学,逻辑演绎与实验归纳”统一性趋势发展.数学不仅是科学的工具,更是一种文化.这一走势表明,数学教育改革也需要根据时代的特征,在两极之间寻求最佳的动态平衡.传统的数学课程主要是按数学的逻辑体系展开的,过分强调了数学的学术形态,“数学既有像中国古代数学那样问题解决的现实主义传统,也有古希腊崇尚演绎推理的理性主义精神这些伟大的数学成就的核心观念都应该与时俱进地、适当地、完整地反映到新世纪的数学课程标准中形式化是数学的基本特征之一,形式化的表达是一项基本要求,但数学不能过度形式化.”10数学课程设置要体现对数学本质的认识,但不能照搬作为科学体系的数学知识体系,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.数学的现代发展也表明,形式化运动是不能贯彻到底的.这在新的高中数学课程标准设想中给予了明确的定位,这是十分必要的.过去的许多讨论中常常出现从一个极端走向另一个极端的倾向,对数学教育改革与发展都是不利的.就我国目前的现状而言,针对过去过度形式化,数学教学中的非形式化问题应该加强.但也不是否定数学的形式,把数学课程中的逻辑推理、证明等形式化的内容彻底否定,换之以“生动活泼、富有趣味性卡通画”“以增加数学的趣味性”.外在趣味性毕竟不是数学的本质，根本的是要从数学内部来挖掘、开发其趣味性，激发学生数学学习的内在动机，而不是外在动机.数学历来被看成是一个严密的逻辑体系,数学在培养逻辑思维能力方面具有不可替代的作用.数学发展的进程离不开直觉、猜想、观察、实验、探索、美感等非逻辑方法.传统的数学观认为,如果数学需要实验也只不过是纸上谈兵,教学过程中,学生的数学活动只是“智力活动”,或更为直接地说是解题活动.数学家在纸上做数学,数学教师在黑板上讲数学,而学生则每天在课堂上听数学和在纸上做题目.弗赖登塔尔早就提出:“要实现真正的数学教育,必须从根本上用不同的方式组织教学,否则是不可能的.在传统的课堂里,再创造方法不可能得到自由的发展.它要求有个实验室,学生可以在那儿个别活动或是小组活动.”数学不仅促进了逻辑思维能力的发展,而且要通过数学的活动,让学生成为数学学习过程中的积极参与者、探索者,真正成为学习的主人,培养学生的自主意识、创新精神.数学教育的价值取向是形式陶冶还是经世致用历来是人文教育与科学教育争论的焦点.从当今商品经济社会和我国国情出发,大力发展经济是中心任务,数学教育特别要强调为经济建设服务.在数学教育中密切联系实际,适当降低数学形式化要求,注重实质,形成用数学的意识,这是大势所趋.新的课程改革的一个重要口号是“人人要学有用的数学”,特别强调数学中的问题解决紧密联系生活实际,特别是对数学建模、随机性数学内容的重视,适当降低了传统教学内容中繁难的计算和复杂的推理,顺应了时代发展的需求,这是可取的.但在实际操作中,如何理解“有用的数学”存在着很大的分歧.数学是思维的科学,数学在形成人类理性思维、理性精神方面具有不可替代的重要作用,这也是数学有用、有价值的一个不可忽视的方面.因而对数学的应用就不能认为是简单地增加几个应用题、乃至开放题等具体问题的解决.对数学应用这一目标的追求应注重于数学的本质问题,特别是通过数学的学习掌握数学的思维方式、数学的思想方法、数学的精神和科学态度等潜在价值.对数学的应用不能狭义地理解为仅仅是知识的应用,完全排斥数学教育的形式陶冶功能.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观.目前,应用数学呈迅猛发展之势,这必然影响到数学教育改革的走向.在数学课程改革中,首先就要解决选取什么样的数学内容,才能使之跟上数学科学的发展.不仅关注数学的抽象性和逻辑严密性,而且要从更为广泛意义上认识和理解数学的应用性.高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中,并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动.高中数学课程要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合.高中数学课程分必修和选修.必修课程由5个模块组成;选修课程有4个系列,其中系列1、系列2由若干个模块组成,系列3、系列4由若干专题组成;每个模块2学分(36学时),每个专题1学分(18学时),每两个专题可组成一个模块.学生可选择不同的课程组合,这为他们的发展提供了个性化的选择,以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考.学生可以在教师的指导下进行自主选择,同时也可随着学习进程的变化、发展进行适当转换、调整.高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间,可以根据学生的基本需求和学校的条件,研制开发校本课程,进一步丰富、完善课程体系.这是现代数学多样性发展,以及数学教育价值多元性的体现,同时也能更好地满足不同层次的人才对数学的不同需求,以达到人与社会的和谐统一.参考文献1黄秦安.我们应该如何认识数学的本质J.数学教育学报,xx,12(3):37.2戴维斯 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(原文发表在数学教育学报xx.2)