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2019-2020年高中数学第四章定积分章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2一、定积分1定积分的概念：f(x)dx叫函数f(x)在区间a，b上的定积分2定积分的几何意义：当f(x)0时，f(x)dx表示的是 yf(x)与直线xa，xb和x轴所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质：(1)1dxba.(2)kf(x)dxkf(x)dx.(3)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx.定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形二、微积分基本定理1如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则f(x)dxF(x)F(b)F(a)2利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式三、定积分的简单应用定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为：画出图形确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限确定被积函数写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)dxm，则nf(x)dx()AmnBmnCmn D.mn解析：根据定积分的性质，nf(x)dxnf(x)dxmn.答案：C2.(ex2x)dx等于()A1 Be1Ce D.e1解析：(ex2x)dx(exx2)(e11)e0e，故选C.答案：C3若(2x3x2)dx0，则k等于()A0 B1C0或1 D.不确定解析：(2x3x2)dx(x2x3)k2k30，k0(舍去)或k1，故选B.答案：B4(江西高考)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D.1解析：f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.答案：B5已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx()A0 B4C8 D.16解析：f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，f(x)dx2f(x)dx16.答案：D6从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为()A. B.C. D.解析：根据题意得S阴影3x2dxx31，则点M取自阴影部分的概率为.答案：B7由yx2与直线y2x3围成的图形的面积是()A. B.C. D.9解析：解得交点A(3，9)，B(1，1)则yx2与直线y2x3围成的图形的面积S(x2)dx(2x3)dxx3(x23x).答案：B8由曲线y，x4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为()A16 B32C8 D.4解析：由图知旋转体的体积为()2dxx28.答案：C9已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从t0到tt0所走的路程为()Agt B.C. D.解析：st00v(t)dtgt2t00gt.答案：C10如图，两曲线y3x2与yx22x1所围成的图形面积是()A6 B9C12 D.3解析：由解得交点(1,2)，(2，1)，所以S(3x2)(x22x1)dx(2x22x4)dx9.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)11. cos xdx_.解析：cos xdxsin x.答案：12设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_解析：f(x)dx(ax2c)dxcaxc，则x0.答案：13有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t s末的流速为v(t)6tt2(单位：cm/s)(0t6)则t0到t6这段时间内流出的水量为_cm3.解析：由题意可得t0到t6这段时间内流出的水量V4(6tt2)dt4(6tt2)dt4144(cm3)答案：14414已知函数yf(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为_解析：由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成的图形的面积为10x2dx(10x10x2)dxx3.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)求由曲线yx22与直线y3x，x0，x2所围成的平面图形的面积解：S(x223x)dx(3xx22)dx1.16(本小题满分12分)如图，求由曲线yx2,4yx2及直线y1所围图形的面积解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍法一：由得C(1，1)同理得D(2，1)则所求图形的面积S222.法二：同法一得C(1，1)，D(2，1)则所求图形的面积为S2(2)dy2dy2(y).17(本小题满分12分)已知函数f(x)ex1，直线l1：x1，l2：yet1(t为常数，且0t1)，直线l1，l2与函数f(x)的图像围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示求当t变化时，阴影部分的面积的最小值解：依题意知，阴影部分的面积S(et1ex1)dx(ex1et1)dx(etex)dx(exet)dx(xetex)(exxet)(2t3)ete1，令g(t)(2t3)ete1(0t1)，则g(t)(2t1)et，取g(t)0，解得t.当t时，g(t)0，g(t)是增函数因此g(t)的最小值为ge12e(1)2，故阴影部分的面积的最小值为(1)2.18(本小题满分14分)已知函数f(x)x3ax2bx，f(x)是函数f(x)的导数在区间1,1内任取实数a，b，求方程f(x)0有实数根的概率解：f(x)x2axb.若方程f(x)0，即x2axb0有实数根，则0，即a24b，因此方程f(x)0有实数根的条件是满足此不等式组的点P(a，b)形成的图形为图中阴影部分，其面积为S1dada2.而坐标满足条件1a1，1b1的点形成的图形的面积S4，根据几何概型的概率公式可知，方程f(x)0有实数根的概率为P.
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