2019-2020年高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算教案 苏教版必修4.doc

2019-2020年高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算教案 苏教版必修4三维目标1知识与技能 (1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件2过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力3情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算难点：平面向量平行条件的理解(教师用书独具)教学建议 1关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”2关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算3关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题教学流程引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.课标解读1.理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件(难点)4.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线(重点)平面向量的坐标表示及坐标运算【问题导思】1在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，xiyj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？【提示】相同2如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？【提示】是一一对应(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj，则把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)(2)平面向量的坐标运算已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.向量平行的坐标表示【问题导思】设a(1,3)，b(2,6)，向量b与a共线吗？【提示】b(2,6)2(1,3)2a，b与a共线 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(a0)，如果ab，那么x1y2x2y10；反过来，如果x1y2x2y10，那么ab.向量的坐标表示图2310在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图2310所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标【思路探究】利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标【自主解答】设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203()，b2|b|sin 1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)4()2.因此a(，)，b(，)，c(2，2)1向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标2求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算图2311如图2311，已知O是坐标原点，点A在第二象限，|2，xOA150，求向量的坐标【解】过点A作ABx轴于点B，作ACy轴于点C，设A(x，y)，则x|cos 150，y|sin 1501.所以的坐标为(，1).平面向量的坐标运算(1)若a(1，3) ，b(2,4)，c(0,5)，则3abc_.(2)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，试求向量3，2.【思路探究】(1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算【自主解答】(1)a(1，3)，b(2,4)，c(0,5)，3abc3(1，3)(2,4)(0,5)(3，9)(2,4)(0,5)(320，945)(5，8)【答案】(5，8)(2)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)(3,4)(2，1)(1,5)，(2，1)(2,0)(4，1)，(2,0)(3,4)(5，4)，33(1,5)(4，1)(5，)，2(5，4)2(1,5)(7，14)平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行若题(2)中条件不变，如何求23呢？【解】A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(3,4)(2，1)(1,5)，(2,0)(3,4)(5，4)，(2，1)(2,0)(4，1)，232(1,5)3(5，4)(4，1)(21,21).向量平行的坐标表示(1)已知四点坐标A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4，11)，请判断直线AB与CD是否平行？(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)当k为何值时，A，B，C三点共线？【思路探究】(1)判断判断点A是否在直线CD上结论(2)求A，B，C三点共线时k的值，则一定有成立先求，再列方程组求解k.【自主解答】(1)因为(2,4)，(4,11)(1，1)(5,10)，(2，1)(1,1)(1，2)，所以2，5.所以.由于与，有共同的起点A，所以A，B，C，D四点共线因此直线AB与CD重合(2)(4k，7)，(10k，k12)，若A，B，C三点共线，则，(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11，当k2或11时，A，B，C三点共线1对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解2利用x1y2x2y10求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，求实数x的值【解】因为a(1,1)，b(2，x)，所以ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，由于ab与4b2a平行，得6(x1)3(4x2)0，解得x2.忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误已知A(2,1)，B(3,2)，C(1,4)，若A，B，C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标【错解】设点D的坐标为(x，y)，则由，得x213，y142，即x2，y3，故所求点D的坐标为(2,3)【错因分析】错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD.事实上，本题没有给出是四边形ABCD，因此，需要分类讨论【防范措施】在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论【正解】设点D的坐标为(x，y)当四边形为平行四边形ABCD时，则有，从而有x213，y142，即x2，y3，故点D的坐标为(2,3)当四边形为平行四边形ADBC时，则有，从而有x23(1)，y124，即x6，y1，故点D的坐标为(6，1)当四边形为平行四边形ABDC时，则有，从而有x312，y241，即x0，y5，故点D的坐标为(0,5)，故第四个顶点D的坐标为(2,3)或(6，1)或(0,5)1向量的坐标运算(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则2两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例.1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b_.【解析】a2b(3,5)2(2,1)(3,5)(4,2)(7,3)【答案】(7,3)2已知M(3，2)，N(5，1)，则P点坐标为_【解析】设P(x，y)，则(x3，y2)，(8,1)，(2x6,2y4)(8,1)【答案】(1，)3已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，是k_.【解析】ac(3k，6)，b(1,3)，(ac)b，.k5.【答案】54已知A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，.求证：.【证明】(2,2)，(2,3)，(，)，(，1)E(，)，F(，0)(，)又(4，1)，所以.即.一、填空题1下列说法正确的有_(1)向量的坐标即此向量终点的坐标；(2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；(4)相等的向量坐标一定相同【解析】我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同故正确的说法是(2)(4)【答案】(2)(4)2若向量a(3,2)，b(0，1)，则向量2ba的坐标是_【解析】2ba2(0，1)(3,2)(0，2)(3,2)(3,0)【答案】(3,0)3已知a(1，x)与b(x,2)共线，且方向相同，则实数x_.【解析】设ab，则(1，x)(x,2)，所以有解得或又a与b方向相同，则0，所以，x.【答案】4(xx连云港高一检测)已知点M(3，2)，N(6,1)，且2，点P的坐标为_【解析】设P(x，y)，则(x3，y2)，(6x,1y)，由2得解得点P的坐标为(3,0)【答案】(3,0)5设m(a，b)，n(c，d)，规定两向量之间的一个运算为mn(acbd，adbc)，若已知p(1,2)，pq(4，3)，则q_.【解析】设q(x，y)，则由题意可知解得所以q(2,1)【答案】(2,1)6已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k_.【解析】由题意得(4k，7)，(6，k5)，与共线(4k)(k5)6(7)0，解得k2或11.【答案】2或117下列说法正确的有_(1)存在向量a与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则；(3)如果向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则x1y2x2y10；(4)如果向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且，则ab.【解析】(1)当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y10或y20时，显然不能用来表示；(3)(4)正确【答案】(1)(3)(4)8已知向量m(2,3)，n(1,2)，若ambn与m2n共线，则等于_【解析】ambn(2a,3a)(b,2b)(2ab,3a2b)，m2n(2,3)(2,4)(4，1)，ambn与m2n共线，b2a12a8b0，.【答案】二、解答题9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2) ，N(9,2)(9，18)10已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5) 及t，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由【解】(1)设P(x，y)，(3,3)，由t得(x，y)(1,2)t(3,3)，即若P在x轴上，则yP0，即23t0，t.若P在y轴上，则xP0，即13t0，t.若P在第二象限，则t.(2)四边形OABP不能为平行四边形因为若四边形OABP能构成平行四边形，则，即(13t,23t)(3,3) t无解，故四边形OABP不能为平行四边形11已知a(1,2)，b(2,1)，xa(t21)b，yab，是否存在正实数k，t使得xy？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由【解】不存在理由：依题意，xa(t21)b(1,2)(t21)(2,1)(2t21，t23)yab(1,2)(2,1)(，)假设存在正实数k，t，使xy，则(2t21)()(t23)()0，化简得0，即t3tk0.k，t为正实数，满足上式的k，t不存在，不存在这样的正实数k，t，使xy.(教师用书独具)已知AOB中，O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，AD与BC交于点M，求点M的坐标【思路探究】由已知条件易求得点C，D的坐标，再由点M是AD与BC的交点，即A，M，D三点共线与B，M，C三点共线可得到以点M的坐标为解的方程组，解方程组即可【自主解答】点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，(0,5)，(4,3)，(0，)，点C的坐标为(0，)同理可得D(2，)设点M(x，y)，则(x，y5)，A，M，D共线，与共线又(20，5)(2，)，x2(y5)0，即7x4y20.(x，y)，(40,3)(4，)，与共线，x4(y)0，即7x16y20.由得x，y2，M的坐标为(，2)在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标【解】法一设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t,4t) (4,0)(4t4,4t)，(2,6)(4,0)(2,6)由，共线的条件知(4t4)64t(2)0，解得t.所以(4t,4t)(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)因为，共线，所以4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量，共线，所以6(x2)2(6y)0.解组成的方程组，得x3，y3，所以P点的坐标为(3,3)