2019-2020年高中数学第二章数列等差数列的前n项和教学案新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学第二章数列等差数列的前n项和教学案新人教A版必修5“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前n项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段.通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成.教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等教学目标掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.教学过程导入新课教问题出示投影胶片1：印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)只要计算出1+2+3+100的结果就是这些宝石的总数.问题 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.教问题出示投影胶片2：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老问题出了一道题目，老问题说：“现在给大家出道题目：1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+100=5 050.”教问题问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以10150=5 050.问题 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？问题 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.问题 问：数列1，2，3，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+100相当于什么？推进新课合作探究问题 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?问题 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?问题 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+21，21+20+19+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列an的前n项的和Sn?方法引导问题 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式()来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式()来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？问题 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?问题 当公差d0时，等差数列an的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.知识应用【例1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+n；(2)1+3+5+(2n-1)；(3)2+4+6+2n；(4)1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)(3)，并请一位同学回答.生 (1)1+2+3+n=；(2)1+3+5+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+2n= =n(n+1).问题 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)问题 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】 （课本第49页例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？问题 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？问题 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.合作探究问题 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)问题 本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?问题 对的，通项与前n项的和公式有何种关系?问题 回答的真好!由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n2时，an=Sn-S n-1，即an=S1(n=1),Sn-S n-1(n2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-，我们从中知它是等差数列，这时当n=1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时，an=Sn-Sn-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.问题 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？(学生板演)解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn,则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54.(教问题对学生的解答给出评价)课堂小结问题 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容? 等差数列的前n项和公式1：,等差数列的前n项和公式2：.问题 通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法? 通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.问题 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容? 如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.