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2019-2020年高中数学第二章数列2.3等比数列自主训练新人教B版必修1.在等比数列an中,已知a3=2,a15=8,则a9等于( )A.4 B.4 C.-4 D.16思路解析:a9是a3和a15的等比中项,a9=4,另外注意到在等比数列中奇数项的符号相同,a9=4.答案:B2.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9思路解析:由等比数列的性质,得ac=(-1)(-9)=9,bb=9且b与奇数项的符号相同,故b=-3.答案:B3.已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c( )A.成等差数列但不成等比数列 B.成等比数列但不成等差数列C.既成等差数列又成等比数列 D.不成等差数列也不成等比数列思路解析:由题意,知a=log23,b=log26,c=log212,2log26=log236=log23+log212,2b=a+c.a,b,c成等差数列.但(log26)2log23log212,a,b,c不成等比数列.答案:A4.设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nN),则f(n)等于( )A.(8n-1) B.(8n+1-1)C.(8n+3-1) D.(8n+4-1)思路解析:依题意,f(n)为首项为2,公比为8的前n+4项的和,根据等比数列的求和公式,得f(n)=(8n+4-1).答案:D5.在等比数列an中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( )A.81 B. C. D.243思路解析:因为数列an是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6) =(a1a10)4=34=81.答案:A6.设an是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3a30=230,则a3a6a9a30等于( )A.210 B.220 C.215 D.216思路解析:a1a2a3a30=a1a1qa1q2a1q29=a130q1+2+29=a13021529=230,知a1102529=210,所以a3a6a9a30=a1q2a1q5a1q8a1q29=a110q2+5+8+29=a1102531=a1102529252=210210=220.答案:B7.根据第五次全国人口普查的结果,截至2000年11月1日,北京市的常住人口总数为1 381.9万.如果从xx年初开始,北京市把全市人口的年增长率控制在0.13%以内,到xx年举办奥运会时(按到年底计算),北京市最多有_万人口.(精确到0.1)思路解析:北京市常住人口数an是公比q=1+0.13%的等比数列.a2 008=axxq8=1 381.9(1+0.13%)81 396.3万.答案:1 396.38.若数列an满足a1=1,an+1=2an,n=1,2,3,则a1+a2+an=_.思路解析:由题意,知数列an是公比为2的等比数列,a1+a2+an=2n-1.答案:2n-19.已知实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a,b,c的值.思路分析:求等差数列与等比数列的有关问题有一种常见的解题方法,就是把所有的条件都转化成首项与公差或公比,一般都可以求解,并且要充分挖掘等差数列或等比数列本身的性质,因为这些条件也是题目中的隐含条件.有时巧妙地设等差数列与等比数列的项,也是简化解题的一个关健.解:由题意,得由两式,解得b=5.将c=10-a代入,整理得a2-13a+22=0,解得a=2或a=11.故a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1.经验算,上述两组数都符合题意.10.已知数列an的前n项和Sn与an满足an,Sn,Sn (n2)成等比数列,且a1=1,求数列an的前n项和Sn.思路分析:本题的常规方法是先求通项公式,然后求和,但逆向思维可以直接求出数列an的前n项和Sn的递推公式,应是一种最佳解法.解:由题意,有Sn2=an(Sn),an=Sn-Sn-1,则Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn) (Sn-1-Sn)=SnSn-1.+(n-1)2=2n-1.Sn=.我综合 我发展11.某厂生产微机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列.而第个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产微机多少台?思路分析:可根据等差数列、等比数列的条件列出方程组得出所求.解:根据已知,可设该厂第一季度原计划个月生产微机台数分别为x-d,x,x+d(d0),则实际上个月生产微机台数分别为x-d,x+10,x+d+25,由题意,得解得x=90,d=10.故第一季度实际生产(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=390+35=305台.答:该厂第一季度实际生产微机305台.12.是否存在一个等比数列an,使其满足下列三个条件:(1)a1+a6=11且a3a4=;(2)an+1an(nN+);(3)至少存在一个m(mN+,m4),使am-1,am2,am+1+依次成等差数列.若存在,写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.思路分析:由等比数列性质,得a1a6=a3a4=,结合a1+a6=11,可以联想韦达定理,构造一个一元二次方程求出a1,a6.解:假设存在这样的数列an.a1+a6=11,a1a6=a3a4=,a1,a6是方程x2-11x+=0的两根,解得x1=,x2=.an+1an(nN+),a1=,a6=.设公比为q,则a6=q5,于是q=2.an=2n-1.由am-1,am2,am+1+依次成等差数列,得2am2=am-1+am+1+,即2(2m-1)2=2m-2+2m+.解得m=3.又m4,不存在满足条件的等比数列.13.已知数列an满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN+).(1)求证:数列an+1-an是等比数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若数列bn满足(nN+),证明bn是等差数列.思路分析:(1)只要对已知条件进行适当变形立即可得;(2)根据(1)构造的数列便可求得通项公式;(3)利用幂的运算性质转化为两数列之间的关系.(1)证明:an+2=3an+1-2an,an+2-an+1=2(an+1-an).=2(nN+).a1=1,a2=3,an+1-an是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)得an+1-an=2n(nN+),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1(nN+).(3)证明:,.2(b1+b2+bn)-n=nbn, 2(b1+b2+bn+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1. -,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0. nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. -,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0.bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN+).bn是等差数列.14.某市xx年底有住房面积1 200万平方米,计划从xx年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求xx年年底和xx年年底的住房面积;(2)求2024年年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)思路分析:碰到这类问题时不要被烦琐的数据和冗长的文字说明吓倒,应“取其精华”读通读懂题目.本题利用等差、等比数列的知识构建数学模型,需要正确理解关键词“增加”“增长率”,利用它们分别构造为等差、等比数列.解:(1)xx年年底的住房面积为1 200(1+5%)-20=1 240(万平方米),xx年年底的住房面积为1 200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1 282(万平方米).xx年年底的住房面积为1 240万平方米,xx年年底的住房面积约为1 282万平方米.(2)2024年年底的住房面积为1 200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-20(1+5%)-20=1 200(1+5%)20-202 522.64(万平方米).2024年年底的住房面积约为2 522.64万平方米.15.已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,.(1)求证:数列lg(1+an)是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an),求Tn及数列an的通项;(3)记bn=,求数列bn的前n项和Sn,并证明Sn+=1.思路分析:(1)主要根据已知条件找出相邻两项之间的关系,然后再证明;(2)要先求出数列an的通项公式;(3)在解题过程中恰当利用裂项相消可减少运算.(1)证明:由已知,得an+1=an2+2an,an+1+1=(an+1)2. a1=2,an+11.将式两边取对数,得lg(1+an+1)=2lg(1+an),即=2,lg(1+a1)=lg(1+2)=lg3.lg(1+an)是以lg3为首项,以2为公比的等比数列.(2)解:由(1),知lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,1+an=32n-1 Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=32032132232n-1=.由式,得an=32n-1-1.(3)证明:an+1=an2+2an,an+1=an(an+2).又bn=,bn=2().Sn=b1+b2+bn=.an=,a1=2,an+1=,Sn=.又Tn=,Sn+=1.
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