2019-2020年高一数学 5.9正弦定理、余弦定理（备课资料） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高一数学 5.9正弦定理、余弦定理（备课资料） 大纲人教版必修1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.例1已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值.解：，又（这是角的关系），（这是边的关系）.于是，由合比定理得.例2已知ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列.求证：sinAsinC2sinB证明：a、b、c成等差数列，ac2b（这是边的关系）又，ac将代入，得2 b整理得sinAsinC2sinB（这是角的关系）.2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220cos280sin20cos80的值.解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（*）而由正弦定理知：a2Rsin20，b2Rsin10，c2Rsin150，代入（*）式得：sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150原式.备课资料1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之.例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度数.解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0cosBB150例2求sin210cos240sin10cos40的值.解：原式sin210sin250sin10sin50在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA中，令B10，C50，则A120.sin2120sin210sin2502sin10sin50cos120sin210sin250sin10sin50（）2.例3在ABC中，已知2cosBsinCsinA，试判定ABC的形状.解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2Bsin2A，sin2Csin2BBC故ABC是等腰三角形.2.一题多证例4在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形.证法一：欲证ABC为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a2bcosC，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC.sinBcosCcosBsinC0即sin（BC）0，BCn（nZ）.B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形.证法二：根据射影定理，有abcosCccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即.又.，即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC为等腰三角形.证法三：cosC及cosC，化简后得b2c2.bcABC是等腰三角形.3.参考例题例1在ABC中，若，试判断ABC的形状.解：由已知及正弦定理得sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=，故ABC为等腰三角形或直角三角形.例2已知ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，又三边a、b、c依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.证法一：A、B、C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=180，3B=180，B=60，再由a、b、c成等比数列，可得b2=ac，因此用余弦定理b2=a2+c22accosB，ac=a2+c22ac，即（ac）2=0a=c，A=C又B=60ABC为正三角形.证法二：A、B、C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=180，3B=180，B=60，再由a、b、c成等比数列，设公比为q，于是b=aq，c=aq2，cosB=，即整理得q42q2+1=0，解得q2=1，q=1q=1，三边长相等故三角形为正三角形.例3在ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断ABC的形状.解法一：a2tanB=b2tanA，由正弦定理得由余弦定理得cosB=,cosA=,把式代入式得，整理得（a2b2）（c2a2b2）=0，a=b或a2+b2=c2.ABC是等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知及正弦定理可得（2RsinA）2=（2RsinB）2，2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2A=2B或2A=2B即A=B或A+B=ABC是等腰或直角三角形.4.参考练习题1.在ABC中，若sinA=，试判断ABC的形状.解：sinA=，cosB+cosC=，应用正、余弦定理得，b（a2c2b2）+c（a2b2c2）=2bc（b+c），a2（b+c）（b+c）（b22bc+c2）=2bc（b+c）即a2=b2+c2故ABC为直角三角形.2.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：.证明：由a2=b2+c22bccosA.b2=a2+c22accosB两式相减得a2b2=c（acosBbcosA），.又，.3.在ABC中，若（a+b+c）（b+ca）=bc,并且sinA=2sinBcosC，试判断ABC的形状.解：由已知条件（a+b+c）（b+ca）=bc及余弦定理得cosA=A=60又由已知条件sinA=2sinBcosC得sin（B+C）=sin（B+C）+sin（BC）sin（CB）=0，B=C于是有A=B=C=60，故ABC为等边三角形.