2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第二课时放缩法几何法与反证法教学案北师大版选修4.doc

2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第二课时放缩法几何法与反证法教学案北师大版选修41放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式的方法，称为放缩法2几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法3反证法通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立的方法叫做反证法，其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论1运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是证明中常用方法技巧，也是放缩法中的主要形式2运用几何法证明不等式的关键是什么？提示：结合待证不等式的特征构造出几何图形，最终将待证不等式转化为几何图形的长、面积、体积等大小比较问题，从而求证3用反证法证不等式应把握哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握好以下三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的对应学生用书P21用放缩法证明不等式例1已知a0，b0，c0，abc.求证：.思路点拨本题若通分去分母运算量较大，考虑到a0，b0，可考虑利用分式的放缩精解详析a0，b0，.而函数f(x)1在(0，)上递增且abc，f(ab)f(c)则，所以.则原不等式成立放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处目标往往要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知的绝对值不等式、平均值不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：舍去或加上一些项：22；将分子或分母放大(缩小)：，(kR，k1)等1设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：m，|x|a|，|x|b|，|x|1，112.1.同理 1，1.得33，矛盾原命题得证(2)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.用反证法证明法一：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2.两式矛盾，从而假设不成立，所以原命题成立|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有由得4p2，由得6pb0，m0，n0，则，按由小到大的顺序排列为_解析：由不等式ab0，m0，n0，知1，且 1，即1.答案：8已知a，b，c，d都是正数，S，则S与1的大小关系是_解析：S1.答案：S1三、解答题9用几何法证明，当x时，sin xx，所以在RtOMP中，OMMP，即cos xsin x.10用反证法证明：如果a，b，c，d为实数，ab1，cd1，且acbd1，则a，b，c，d中至少有一个负数证明：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，即a，b，c，d都为非负数，即a0，b0，c0，d0.因为ab1，cd1，所以(ab)(cd)1，即(acbd)(bcad)1.因为a，b，c，d均为非负数，于是有bcad0，故由上式可以知道acbd1，这与已知条件中的acbd1矛盾，所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数11已知数列an的前n项和Sn(n2n)3n.证明：3n.证明：当n1时，S163；当n1时，S1S2Sn1Sn3n3n.所以，当n1时，3n.