2019-2020年高中数学 第1章 解三角形章末知识整合 苏教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 第1章 解三角形章末知识整合 苏教版必修5题型1利用正、余弦定理解三角形解答下列各题：(1)在ABC中，若A30，a，b2，求B；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，求A.分析：已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题时一定要根据问题条件，准确判定解析：(1)根据正弦定理，有，即sin B，得sin B.aA30，B为锐角或钝角即B45或135.(2)由sin Bcos B得sin1，B.由正弦定理，得sin A，又ab，AB.A.归纳拓展已知两边和其中一边的对角解三角形，一般用正弦定理，但此时三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角，AB则sin Asin B”等关系来判定，也可以结合几何图形帮助理解记忆具体模式如图所示，关键是比较bsin A与a和b的大小当A为锐角，且bsin Aa时，一解，bsin Aa，无解，bsin Aa，两解，ab时一解，至于A90，A90，情况较易变式迁移1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b1，则c为(B)A1B2C.1 D.解析：由正弦定理，sin B.又ab，AB.B为锐角B，于是C.ABC为直角三角形c2，故选B.例2 (1)在ABC中，am，bn，c，求C；(2)在ABC中，a7，b8，cos C，求c及最大角的余弦值分析：(1)为ABC中已知三边求一角，直接用余弦定理cos C求解即可(2)为ABC中已知两边及其夹角余弦求第三边，用c求最大角的余弦，不难想到“大边对大角”解析：(1)由余弦定理得cos C，将a，b，c的值代入上式，得cos C.0Cac，在ABC中，B最大cos B.归纳拓展余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形变式迁移2(xx湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Bb，则角A等于(D)A. B.C. D.解析：由正弦定理和2asin Bb可得2sin Asin Bsin B，即sin A，又ABC为锐角三角形，A.题型2三角形形状的判断例3 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状解析：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得cos A，A120.(2)方法一由(1)，BC60，B60C，由sin Bsin C1，得sin(60C)sin C1，即sin 60cos Ccos 60sin Csin C1，即sin(C60)1，而0C60，C30.故B30，ABC为等腰钝角三角形方法二由(1)b2c2bca2得sin2Bsin2Csin Bsin Csin2A，即(sin Bsin C)2sin Bsin C，sin Bsin C.与sin Bsin C1联立，解得sin Bsin C，而0B，C60，BC.ABC为等腰钝角三角形归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解在解三角形时的常用结论有：(1)在ABC中，ABabsin Asin Bcos Acos B.(2)在ABC中，ABC，ABC，则cos(AB)cos C，sin(AB)sin C，sincos.(3)在ABC中，a2b2，a2b2c2C，a2b2c20C.变式迁移3在ABC中，若cos2，试判断ABC的形状解析：方法一cos2，cos A，即.c0，c2a2b2.ABC为直角三角形方法二cos2，.cos A.cos A.sin Ccos Asin B.sin Ccos Asin(AC)sin Acos C0.0A，sin A0.cos C0.C90.故ABC为直角三角形题型3求三角形的面积例4 (1)在ABC中，已知a3，b4，C60，则ABC的面积为多少？(2)若三角形面积为，且b2，c，求A.分析：非特殊三角形面积的计算主要用Sbcsin Aabsin Cacsin B(1)直接用Sabsin C即可；(2)为逆用Sbcsin A.解析：(1)Sabsin C 34sin 6063.(2)Sbcsin A，2sin A，sin A.A60或120.归纳拓展三角形面积公式：Sahabcsin Apr，其中A，B，C分别为ABC的边a，b，c的对角，R，r分别为ABC的外接圆和内切圆半径，p(abc)变式迁移4已知ABC的三边长分别为a2，a，a2，且最大角的正弦值为，求这个三角形的面积解析：设是最大角，sin ，而60，120.(a2)2a2(a2)22a(a2)cos 120.解得a5，三边长为3，5，7.S35sin 120.5在ABC中，已知a，cos A，且b2bc2c20.(1)求b，c的值；(2)求ABC的面积解析：(1)由b2bc2c20得(bc)(b2c)0，即b2c，再由a2b2c22bccos A得3(2c)2c222c2，解得c，b2.(2)cos A，sin A.SABCbcsin A2.题型4正、余弦定理的应用如右图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？分析：在ABD中，由正弦定理可求出BD，再在BCD中，用余弦定理求出CD，最后可求出时间t.解析：由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，BD10(海里)又DBCDBAABC60，BC20 (海里)，在BCD中，由余弦定理得，CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900.CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)归纳拓展解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题其基本思路是：首先分析本题属于哪种问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知和未知的量标在图中，最后根据边角关系选择相应的定理，同时注意近似计算的要求，解题后再还原为实际问题变式迁移6xx年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排距离为10米，求旗杆的高度解析：设旗杆的高度为x米，ABC105，CAB45，ACB30.根据正弦定理可知，即BC20.旗杆高度xBCsin 602030(米)故旗杆的高度为30米