2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试4-8 北师大版.doc

2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试4-8 北师大版一、选择题1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这只船的速度是每小时() A5海里 B5海里C10海里 D10海里答案C 解析依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(海里/小时)2如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为()A50mB50mC25m D.m答案A解析由题意知ABC30由正弦定理AB50(m)3一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时答案A解析如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)4为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20m B20mC20(1)m D30m答案A解析如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB20m，所以BM20m.又在RtAMD中，DM20m，ADM30，AMDMtan30(m)，ABAMMB2020m.5如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、(0，x1.7如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50米，山坡对于地平面的坡角为，则cos()A. B2C.1 D.答案C解析在ABC中，BC50()，在BCD中，sinBDC1，由图知cossinADEsinBDC1.8空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45，同时在它南偏东60的B点，测得它的仰角为30，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是()A.米 B.米C266米 D266米答案B解析如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CDx米，依题意知：CAD45，CBD30，则ADx米，BDx米在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB，即2662x2(x)22x(x)cos1507x2，解得x，故测量时气球到地面的距离是米，故选B.二、填空题9海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C的距离是_答案5海里解析在ABC中由正弦定理得，BC5.10我舰在岛A南50西12海里的B处，发现敌舰正从岛沿北10西的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为_答案14海里/小时解析设我舰在C处追上敌舰，速度为V，则在ABC中，AC20，AB12，BAC120.BC2784，V14海里/小时112009年8月9日，莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县，如图，位于港口O正东方向20海里的B处的渔船回港避风时出现故障位于港口南偏西30方向，距港口10海里的C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到B处需要_小时分析求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题，然后再利用余弦定理解决答案解析由题易知，BOC120，因为BC2OC2OB22OCOBcos120700，所以BC10，所以拖轮到达B处需要的时间t(小时)三、解答题12如图某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离(结果精确到1n mile)解析(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos30，解得CD814(n mile)即A处与D处的距离为24n mile，灯塔C与D处的距离约为14n mile.13某海域内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50(其中sin，090)且与A相距60海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离解析(1)如图，AB80，AC60，BAC，sin.由于090，所以cos.由余弦定理得BC40，所以船的行驶速度为40海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理得，sinABC60，自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离在RtABD中，ADABsinABD8015(海里)，船在行驶过程中离观测站A最近距离为15海里14(xx陕西理)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解析本题考查正余弦定理在实际问题中的应用，本题要结合图像确定恰当三角形进行边角的求解，求解过程中三角函数的变形，转化是易错点，注意运算的准确性由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB45，ADB105在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：救援船到达D点需要1小时点评：(1)解决实际应用问题，要过好语言关，图形关和数理关，考生在平时训练中要注意加强(2)本题若认定DBC为直角三角形，由勾股定理正确求得CD，同样可以15(xx福建文)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小里的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解析本小题主要考查解三角形，二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力，运算求解能力，应用意识，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)化简得：v2900400()2675由00)，于是400u2600u900v20(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：解得15v0时，可得4m2cosx对一切实数x都成立，4mmin，而2cosx2，当且仅当cosx时取等号，故4m2，即m；当cosx2R或ab2R时，所求的ABC不存在；当a2R且ba时，A90，所求的ABC只存在一个，且c；当a2R且ba时，AB，且A、B都是锐角，由sinAsinB，A、B唯一确定；因此，所求的ABC只存在一个，且c2acosA；当ba2R时，B总是锐角，A可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的ABC存在两个，由sinA，sinB得，当A90时，cosA，c.三、三角函数与平面向量的综合例3已知向量m(f(x)，cosx)，n(sinxcosx,1)，且mn.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像关于直线xx0对称，且0x01，求x0的值分析对于(1)利用已知求出函数f(x)的解析式，转化为三角函数知识，进一步解决问题；对于(2)根据对称坐标之间的关系求x0即可解析(1)由mn得，f(x)1cosx(sinxcosx)0，则f(x)sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin，T.由2k2x2k(kZ)得，kxk(kZ)，f(x)的最小正周期为，单调递增区间为(kZ)(2)f(x)的图像关于直线xx0对称，2x0k，即x0(kZ)0x01，x0.四、三角函数的实际应用例4某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A，B，C，D在同一平面上)，测得ACD45，ADC75，BCD30，BDC15(如图)，假设考虑到电线的自然下垂的施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A、B距离的1.2倍问：施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：1.4，1.7，2.6)分析解决此类问题的一般步骤是：(1)根据题意，抽象地构造出三角形(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系. (3)选用正弦定理或余弦定理或两者相结合的方法求角解析在ACD中，CAD180ACDADC60，CD6000，ACD45，根据正弦定理ADCD. 在BCD中，CBD180BCDBDC135，CD6000，BCD30，根据正弦定理BDCD. 又在ABD中，ADBADCBDC90. 根据勾股定理有，ABCD1000，12AB7425.6，故实际所需电线长度约为7425.6m.