《空间向量的正交分解及其坐标表示》.ppt

3.1.4空间向量的正交分解 及其坐标表示,由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示.,那么，对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?,一、空间向量基本定理：,如图，设 是空间三个两两垂直的向量，且有公共 起点O。对于空间任意一个向量 ,设点Q为点P在 所确定的平面上的正投影，,从而，有：,我们称 为向量 在 上的分向量。,由此可知，如果 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一个向量 ，存在一个有序实数组x,y,z,使得,在空间中，如果用任意三个不共面向量 代 替两两垂直的 向量,能得到类似的结论吗？,空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ,存在有序实数组x , y , z， 使得, 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量。,思考：,思考:基底应注意什么呢?,1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底,2.三个基向量每一个都不能为零向量,3.一个基底是指一个向量组,一个基向量是指一个向量,二、空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,e3,P,P,P,e1,e2,例1 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个,分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断,设 ,易判断出答案,C,例题讲解：,例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 表示 和 。,变式,空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设 ,用向量 表示,小结： 1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求； 2、求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求.,作业：课本P98：10 11,