2019-2020年高考数学复习点拨 用第三平面确定二面角的棱.doc

2019-2020年高考数学复习点拨 用第三平面确定二面角的棱 二面角是高考的重点知识，也是久考不衰的热点之一考生历来都感到困难，尤其是对无棱的二面角，更感到无章可循，显得束手无策本文将从同时与两平面相交的第三平面入手考虑因为两平面与第三平面分别有一条相交直线，又这两条直线同时在第三平面内，其位置关系只有两种情况：相交与平行若两条直线相交，由公理3知，交点必在两平面的交线上，由此可作出棱；若两条直线平行，由线面平行的判定和性质知，两条直线必与两平面的交线平行，由此可作出棱下面举例说明具体的作法 例1 底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD，ABC=90，SA底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=BC，求面SCD与面SAB所成的二面角的正切值 分析一：如图1，考虑与平面SAB和平面SCD同时相交的平面ABCD，其交线分别为AB和CD，而AB，CD为直角梯形的两腰因此，AB，CD必相交，设交点为E，连结SE，则SE必为面SCD与面SBA所成二面角的棱，然后可证得，BSC为所求二面角的平面角，进而可求得其正切值 分析二：如图2，分别取SC，SB的中点M，F，连结AF，FM，DM，由FMBCAD知，AFDM，此时，考虑与平面SCD和平面SBA同时相交的平面AFMD，其交线分别为DM和AF，则平面SCD和平面SBA所成的二面角的棱必与AF，DM平行，因此，在平面SAB内，过S作SEAF交BA延长线于E，则SE必为面SCD与面SBA所成二面角的棱，然后可证得BSC为所求二面角的平面角 例2 在正三棱柱中，截面侧面若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数 分析：如图3，考虑与平面和平面同时相交的第三平面，交线分别为CE和，两直线为相交直线，设交点为D，连结，则为平面与平面所成二面角的棱，然后可证得，为所求角，在中可求得 例3 过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小 分析：如图4，考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD，其交线为AB和CD，而ABCD，则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB，CD平行在平面PAB内，过点P作PQAB，则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，然后可证得，PAPQ，PDPQ，APD为所求角，在RtAPD中可求得，APD=45 例4 如图5，在正四面体A-BCD中，请确定截面PQR和底面BCD所成二面角 分析：如图所示，考虑与截面PQR和底面BCD同时相交的第三平面ABC，交线分别为BC和PQ，而PQ与BC为相交直线，设交点为E，则E必在截面PQR和底面BCD所成二面角的棱上，同理，考虑与截面PQR和底面BCD同时相交的第三平面ABD，交线分别为PR与BD，而PR与BD为相交直线，设其交点为F，则点F必在截面PQR和底面BCD所成二面角的棱上，连结EF，则EF为截面PQR和底面BCD所成二面角的棱，取线段EF的中点M，连结PM，BM，可证得PMB为所求角