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第三章 几何向量,解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形，也是多元函数微积分的基础.,本章主要研究如下几个问题： 1. 几何向量的线性运算； 2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外积）、混合积； 3. 空间中的直线与平面.,3.1 几何向量及其线性运算,3.1.1 几何向量的概念 现实生活中有这样的两种量：数量（标量），即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的工具.,1向量：有大小，又有方向的量称为向量. 用有向线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记 或,2模：（长度）向量的大小，记作 且,6自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1）方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量. 所以任意两向量都共面.,3.1.2 几何向量的线性运算,一、加法运算：（向量的加法，数乘向量） 1平行四边形法规：设 ，则以 为邻边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记.,3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量，即为和向量， .,4运算法则： （1） ，交换律； （2） ,结合律； （3） ； （4） .,5向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量 . 注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比大小，而向量式子 无意义，当然向量的长度可比大小，根据三角形两边之和不小于第三边, 的长度满足三角不等式 .,二、数乘向量：,为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法. 1定义： ，则 是一个向量，与 共线，模 与 同向， 时与 反向， . 若 .,2运算法则： （1） ； （2） ，（结合律）； （3） ； （4） ，（分配律）.,例1：在 内，设 ，试用 表示 .,解： 的对角线互相平分 ， 又 .,3.2 向量的数量积，向量积和混合积,3.2.1 向量在轴上的投影 刚才讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算定量的描述.,2点的投影：若 为空间中一点， 为一轴，通过 点作垂直于 轴的平面 ，则 与轴 的交点 为在轴 上的投影（一个点）.,1向量的夹角：设有 ，将 的起点放在一起，它们所夹的角 称为向量的夹角，记 . 注：零向量与另一向量的夹角可以在0到 间任意取值. 同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的正向间不超过 的夹角.,3向量的投影：设有向量 , , 则轴 上的有向线段 的值为 （数量， 向为正数， 向为负数） ， 称为向量 在轴 上的投影，记作 .,定理3.1 向量 在轴 上的投影=向量的模乘以向量与轴夹角的余弦，即： . 证：过点引轴且同向，且有. 当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；直角时，投影为0.,定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影=投影之和. 即： . 此定理可推广： .,3.2.2 几何向量的数量积（点积、内积、标积） 物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是: 抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.,1定义（数量积）， . 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.,2性质：（1） 规定 ； （2） ； 交换律：（3） ； 分配律：（4） ； 结合律：（5）,3注：（1）称为数量积是因结果是个数. （2） 并不见得 中必有 向量， 也可. （3） 无意义. （4）数量积不满足消去律即 事实上，所以.,例2：用向量的数量积，证明恒等式 即平行四边形对角线的平方和=四边的平方和. 证：,例3：用向量证明余弦定理 证：在 中，,例4：已知 与 的夹角为 ，且向量 与 垂直，求 的值. 解： . 即,3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积） 下面介绍向量与向量的另一种乘法。 物理背景：由力学知，力 关于定点 的力矩是一个向量 ，它的模=力的大小力臂，即： 但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道物体如何转动，规定力矩的方向 且 与 构成右手系，即右手四指从 方向握向的 方向时，大姆指的方向就是力矩的方向，（ 为转动轴），抽去物理意义，引出向量积的定义。,1定义（向量积）向量 与 的向量积是一个向量，记为 ，则它满足： （1） ； （2） 决定的平面 ； （3）依 的顺序成右手系； 记作：,2几何意义： 都非零且不共线， 以 为邻边的平行四边形的面积.,3性质： （1） ； （2） 或 或 )； （3）反交换律（反对称性）： （交换律不成立）； （4）分配律： ； ； （5）结合律 ；,例5：证明 证：由内积定义知 ， 由外积定义知 ， 两式相加有：,例6：已知 ，且 ，求 证：利用上题结果有 .,3.2.4 三个向量的混合积,1定义（混合积） 是个数值. 2几何意义： ， 设 不共面， ， ，当 为锐角时， 右手系 ，当 为钝角时， 成左手系时， ， 以 为棱作一个平行六面体,体积为 , .,3三个向量共面 ， 又 且 ， 共面,4性质：混合积具有轮换对称性.,3.2.5 几何向量的坐标 前面介绍的几何向量的加法，数乘，数量积，向量积及混合积的计算,都是在几何作图，下面将这些运算 代数运算. 一、空间直角坐标系,1坐标系：在空间中任取一定点 ，过点 作三条相互垂直的数轴 ，它们都以 为原点，且有相同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系，记为 为横轴， 为纵轴， 为竖轴. 习惯上 轴， 轴放水平面上， 轴铅直向上，它们的正方向构成“右手系”，即 的正方向符合“右手规则”.,2点的坐标，设 为空间内一点， 分别是点 在轴 上的投影， 在轴 上的坐标依次为 ，称有序数组 为点 的坐标，且 ，记 .,3坐标面：三条坐标轴中的任意两个确定一个坐标面， 面，三张坐标面互相垂直. 4卦限：三个坐标面把整个空间分成八个区域，称为八个卦限. 5两点间的距离： . ， .,二、向量的坐标 1基本单位向量： 分别为 轴正向的单位向量，称为基本单位向量.其内积和外积满足： ,2向量的坐标： （1） . 解： 故 的坐标为,（2）若 故 的坐标为,三、向量的运算的坐标形式,向量的加法： 1 ； 2 ； 3 ； 4 .,5 ,6 .,3单位向量,五、共线与共面 在直角坐标系下： 与 共线(平行) . 共面 ，即 线性相关. 不全为0的 ，使 .,解法2： 且 再由条件 即 故,3.3 空间中的平面与直线 我们把曲面、曲线看作是位置上满足某些约束条件的点的集合. 在引入直角坐标系后，这些约束条件是通过点的坐标所满足的方程来体现的，比如说 是某曲面方程，就是说，曲面上的点的坐标都满面足这个方程；不在曲面上的点的坐标 不满足这个方程. 这样，我们就可以用代数方法来研究几何问题了.,3 的一般方程 若记 则（1）式可写成 （2）,由（2）式知，在空间直角坐标系下，平面方程是三元一次方程， 至少有一个不为零. 自然会问： 的三元一次方程的图形是否都是平面呢？回答是肯定的.,不会为零，比如 ，则（2）式可变为 ，的形式与（1）式比较知，它是以 为法向量，且通过点 的平面方程.,总之，在空间直角坐标系下，任何平面方程都是三元一次方程，反之， 的任何三元一次方程的图形都是平面.,平面一般方程（2）中，系数 和常数 各具一定的几何意义， 是法向量的坐标，表明平面朝向那里，当 不变， 改变时，得到一组平行平面， 时，平面过原点 的某一个为零，就表明法向量与相应的坐标轴垂直，平面与该轴平行。,3特殊的平面方程， 在 轴投影为 ， ，平面平行于 轴， ，平面过 轴； ，平百平行于 轴， ，平面过 轴； ，平面平行于 轴， ，平面过 轴； 面，即 轴. ， 轴， 面. 轴， 面.,代入（2）整理并除以 不过原点) 得 （ 称为截距且全不为0），称为平面的截距式方程. 由平面的截距式方程很容易画出平面图形.,例11：求与点 等距离的点的轨迹方程. 解：显然，这是线段 的垂直平分面， 是这个面的一个法向量， 线段的中点 在平面上， .,解法2： 平面过 轴， 轴上的点 及 在平面上，加上点 ，三个点确定一个平，由（3）三点式平面方程可得所求平面方程 得 .,解法3：由于点 的向径 和 轴的单位向量 都在所求平面上，故 为平面的法向量，又点 在平面上，由点法式，故平面方程为 .,二、平面的度量性质 1两平面平行：（按两法向量平行处理） . ，则 .,解法1：设所求平面的法向量为 平面方程为： 又 及 . 由点 法式有：.,4两平面的夹角：两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）. 的夹角 为 与 的夹角， .,例14：求两平面 的夹角. 解：,例15：求点 到平面 的距离. 解：,3.3.2 空间直线及其方程 一、直线方程 1一般方程（交面式）： 空间直线是空间曲线的特殊情况，所以空间直线 可以看作是两个平面 和 交线，即： （1）,空间直线 上的任何点的坐标应同时满足这两个平面方程，反过来，如果点 不在直线上，那么它不可能同时在 ， 上，所以不满足方程组（1）. 通过空间直线 的平面有无限多个，所以只要在这无限多个平面上任选两个，把它们联系起来，所得的方程组就表示空间直线 .,2直线的标准方程（点向式）： 确立直线的方法，除了给出通过它的两个平面外，还有其他方法，首先介绍直线的方向向量.,方向向量：若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为这条直线的方向向量 ，记为 ， （ 不唯一）.,例 方程组（1）所表示的直线 的方向向量可取 即 过空间一点可作且只能作一条直线平行于一已知直线，,对 可确定 的位置. 在 上任取一点 ，则 ， ， （2） 反过来，不在 上的点 ，有 不平行于 ， 对应坐标不成比例，（2）称为 的对称式方程，（点向式方程）标准方程：注：（1） 直线的点向式方程不唯一.,3特殊平面方程：当 中有一个为零，例. 则 当 中有两个为0时，例 ，,则 方向数：直线的任一方向向量 的坐标 称为该直线的一组方向数. 方向余弦： 的方向余弦称为该直线的方向余弦.,4参数方程：在（2）中令 ，则 （3）称为 的参数方程， 不唯一，（3）不唯一.,为 的标准方程；令,为 的参数方程. 若令 ，则,，由点向式，,上面讲过，平面的位置可由平面上一点及法向量来确定，空间直线的位置可由直线上一点和直线的方向向量来确定. 因此，平面与平面的夹角，直线与直线的夹角、直线与平面的夹角，以及垂直、平行条件，都可以通过平面的法向量，直线的方向向量之间的相互关系来表现，上节课我们已经讲了两平面的夹角及垂直、平行条件，讲了点到平面的距离.,2两直线垂直 3两直线平行,例17：求 和 的夹角. 解：由叉积求,2直线与平面垂直 3直线与平面平行,例18：求直线 和平面 夹角. 解：求,求投影平面，即 ，即 投影平面为： 即 为所求投影直线方程.,解得 ， 交点为 即,2两直线共面的条件： 空间两直线有共面与异面之分，从 与 上各取一点 和 ，则 共面 三个向量 共面 即,与 共面，设 的法向量为 所求平面方程为： ，即.,五、平面束（用平面束解题比较方便）： 平方束：过直线 的所有平面全体 设 来确定 . （3）,其中 为任意常数， 系数不成比例， 不全为0， （3）表示一个平面，对不同的 （3）表示过 的不同的平面，除（2）外，通过 的任何平面都包含在（3）所表示的一族平面内，通过定直线的所有平面全体称为平面束，（3）称为 的平面束的方程.,
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