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,6.3 等比数列及其前n项和,第六章 数 列,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示.,从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),公比,q,2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an . 3.等比中项 若 ，那么G叫做a与b的等比中项.,a1qn1,G2ab (ab0),4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则 .,qnm,akalaman,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn， 当q1时，Snna1；,6.等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 .,qn,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.( ) (2)G为a，b的等比中项G2ab.( ) (3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.( ),(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.( ) (5)等比数列an的首项为a，公比为1，前n项和为Sn，则S2n0，S2n1a.( ),24,7,4,2 2n12,解析,设等比数列的公比为q， 由a2a420，a3a540. 得20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.,例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5 .,题型一 等比数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,显然公比q1，,例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5 .,题型一 等比数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5 .,题型一 等比数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5 .,题型一 等比数列基本量的运算,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,解析,答案,思维升华,例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5 .,题型一 等比数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,例1 (2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .,解析,答案,思维升华,设等比数列an的公比为q(q0)，,即2q25q20，,例1 (2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .,解析,答案,思维升华,故a34或a34.,例1 (2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .,解析,答案,思维升华,例1 (2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .,故a34或a34.,4或4,解析,答案,思维升华,例1 (2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .,4或4,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,跟踪训练1 (1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为 .,解析 设an的公比为q，q0. 由已知得a43a325a2， 即a2q23a2q10a2，q23q100， 解得q2或q5(舍去)， 又a22，则a11，,31,(2)(2014天津)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 .,所以S1，S2，S4分别为a1,2a11,4a16. 因为S1，S2，S4成等比数列， 所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得a1 .,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.,解析,答案,思维升华,(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.,解析,答案,思维升华,(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.,跟踪训练2 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3 .,解析 由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列， 于是(S6S3)2S3(S9S6)，,34,解析 方法一 a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3,a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15,(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .,又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43,(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .,(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .,设T1a1a2a3a41， T4a13a14a15a168， T4T1p31p38p2. T11a41a42a43a44T1p102101 024.,1 024,(3)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且 ，则logb5a5 .,解析,题型三 等比数列的判定与证明,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,思维升华,解析,思维升华,证明 anSnn， an1Sn1n1. 得an1anan11， 2an1an1，2(an11)an1，,题型三 等比数列的判定与证明,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,解析,思维升华,题型三 等比数列的判定与证明,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,an1是等比数列.,cnan1， 首项c1a11，,解析,思维升华,题型三 等比数列的判定与证明,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,解析,思维升华,题型三 等比数列的判定与证明,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,例3 (2)求数列an的通项公式.,解析,思维升华,解析,思维升华,例3 (2)求数列an的通项公式.,解析,思维升华,例3 (2)求数列an的通项公式.,(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,证明 由a11及Sn14an2， 有a1a2S24a12. a25，b1a22a13.,跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,，得an14an4an1， an12an2(an2an1).,跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,bnan12an，bn2bn1， 故bn是首项b13，公比为2的等比数列.,(2)求数列an的通项公式,得an(3n1)2n2.,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,解 设等比数列an的公比为q， 因为2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： 已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况. 等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论.,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,项数的奇、偶数讨论. 等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论.,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.,思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用,典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,求出前n项和，根据函数的单调性证明.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： 已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况. 等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论. 项数的奇、偶数讨论. 等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.,方 法 与 技 巧,1.已知等比数列an (1)数列can(c0)，|an|， 也是等比数列. (2)a1ana2an1amanm1.,方 法 与 技 巧,2.判断数列为等比数列的方法,方 法 与 技 巧,3.解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量.,失 误 与 防 范,1.注意等比数列中的分类讨论.,2.由an1qan(q0)，并不能断言an是等比数列，还要验证a10.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.(2014重庆改编)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是 (填序号). a1，a3，a9成等比数列 a2，a3，a6成等比数列 a2，a4，a8成等比数列 a3，a6，a9成等比数列,所以a3，a6，a9成等比数列.,2.(2014大纲全国改编)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和为 . 解析 数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4,3.(2013课标全国改编)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1 . 解析 设等比数列an的公比为q， 由S3a210a1得a1a2a3a210a1， 即a39a1，q29， 又a5a1q49，所以a1 .,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 . 解析 设该等比数列为an，其前n项的积为Tn， 则由已知得a1a2a33，an2an1an9， (a1an)33933， a1an3，又Tna1a2an1an， Tnanan1a2a1， T(a1an)n，即72923n，n12.,12,5.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40 . 解析 依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列， 因此有(S20S10)2S10(S30S20)， 即(S2010)210(70S20)，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,故S2020或S2030； 又S200， 因此S2030，S20S1020，S30S2040， 故S40S3080. S40150. 答案 150,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为 . 解析 由a32S21，a42S31得 a4a32(S3S2)2a3，,3,7.等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5 . 解析 利用“特殊值”法，确定公比. 由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0. 由q2q20解得q2或q1(舍去)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,11,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k . 解析 设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，,6,又an的各项均为正数，q2.,2k163，解得k6.,9.已知等差数列an满足a22，a58. (1)求an的通项公式； 解 设等差数列an的公差为d，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,ana1(n1)d2n2.,(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn. 解 设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4， a46，q2或q3. 等比数列bn的各项均为正数，q2.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2n1.,10.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*). (1)证明：数列an是等比数列； 证明 依题意Sn4an3(nN*)， n1时，a14a13，解得a11. 因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)， 所以当n2时，anSnSn14an4an1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又a110，所以an是首项为1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式.,由bn1anbn(nN*)，,可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1),3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,当n1时也满足，,2,3,4,5,1,1.等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn15，则项数n为 .,由a1a2a3a41，,2,3,4,5,1,qn16，又q42，n16.,答案 16,2,3,4,5,1,2.(2013福建改编)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1 am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m (m，nN*)，则以下结论一定正确的是 . 数列bn为等差数列，公差为qm； 数列bn为等比数列，公比为q2m； 数列cn为等比数列，公比为 ； 数列cn为等比数列，公比为 .,2,3,4,5,1,解析 bnam(n1)(qq2qm),bn1bn不是常数.,答案 ,2,3,4,5,1,3.已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an (nN*).,2,3,4,5,1,解析 观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18， 即an是首项为2，公比为3的等比数列， an23n1. 答案 23n1,2,3,4,5,1,4.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*. (1)证明数列ann是等比数列； 证明 由题设an14an3n1， 得an1(n1)4(ann)，nN*. 又a111，所以数列ann是首项为1， 且公比为4的等比数列.,2,3,4,5,1,(2)求数列an的前n项和Sn. 解 由(1)可知ann4n1， 于是数列an的通项公式为an4n1n，,2,3,4,5,1,5.已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列. (1)求数列an的通项公式； 解 设等比数列an的公比为q， 因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，,2,3,4,5,1,. .,故等比数列an的通项公式为,2,3,4,5,1,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，,2,3,4,5,1,当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,
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