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,12.6 随机变量的均值与方差,第十二章 概率、随机变量及其概率分布,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的概率分布表为,(1)均值 称E(X) 为随机变量X的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 .,x1p1x2p2xipixnpn,数学期望,平均水平,2.均值与方差的性质 (1)E(aXb) . (2)V(aXb) .(a，b为常数),(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn,平均偏离程度,标,准差,aE(X)b,a2V(X),3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X) ，V(X) . (2)若XB(n，p)，则E(X) ，V(X) .,p,p(1p),np,np(1p),思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( ),(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大.( ) (4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.( ),0.4,8,0.7,E() (246810)6，,解析,V() (4)2(2)20222428.,例1 (2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分. (1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；,题型一 离散型随机变量的均值、方差,思维点拨 利用古典概型概率公式求P().,解 由题意得2,3,4,5,6.,所以的概率分布为,(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若E() ，V() ，求abc.,思维点拨 利用古典概型概率公式求P().,解 由题意知的概率分布为,解得a3c，b2c，故abc321.,思维升华 对于均值、方差的计算要尽可能的运用其性质，从而运算简便.运算性质： E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X).,跟踪训练1 (2014山东)乒乓球台面被球网 分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个 不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相 交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情 况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 .假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：,(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；,解 记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，,记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j0,1,3)，,记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.,由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，,(2)两次回球结束后，小明得分之和的概率分布与均值.,解 由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，,P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3),可得随机变量的概率分布为,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求p的值；,题型二 二项分布的均值、方差,思维升华,解析,对于(1)中p的值，可利用对立事件概率公式求解.,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求p的值；,题型二 二项分布的均值、方差,思维升华,解析,设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求p的值；,题型二 二项分布的均值、方差,思维升华,解析,解析,思维升华,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().,解析,思维升华,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().,解析,思维升华,所以，随机变量的概率分布为,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().,解析,思维升华,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().,解析,思维升华,求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np；V(X)np(1p)求解，可大大减少计算量.,例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p. (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().,解析,思维升华,跟踪训练2 (2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；,解 方法一 由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响.,记“这2人的累计得分X3”的事件为A，,则事件A的对立事件为“X5”，,即这2人的累计得分X3的概率为 .,解 方法二 由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响.,记“这2人的累计得分X3”的事件为A，,则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，,所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3) ，,即这2人的累计得分X3的概率为 .,(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？,解 方法二 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2).,因为E(2X1)E(3X2)，,所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.,解 方法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的概率分布如下：,因为E(X1)E(X2)，,所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.,例3 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 、 、 ；已知乙项目 的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润. (1)求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；,题型三 均值与方差的应用,思维点拨 求概率分布，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；,解 X1的概率分布为,E(X1)1.2 1.18 1.17 1.18.,由题设得XB(2，p)，即X的概率分布为,故X2的概率分布为,所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2 p20.1p1.3.,思维升华 解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.,例3 (2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围.,思维点拨,思维升华,解析,题型三 均值与方差的应用,由E(X1)E(X2)，找出关于p的不等式，即可求出p的范围.,例3 (2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围.,题型三 均值与方差的应用,思维点拨,思维升华,解析,解 由E(X1)1.18，,整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.,因为0p1，所以当E(X1)E(X2)时，,例3 (2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围.,题型三 均值与方差的应用,p的取值范围是0p0.3.,思维点拨,思维升华,解析,随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.,例3 (2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围.,题型三 均值与方差的应用,思维点拨,思维升华,解析,跟踪训练3 某中学高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查.已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为 ，且每道题正确完成与否互不影响. (1)求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率.,解 因为考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽3道题中的2道或3道.,(2)记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为，写出的概率分布，并求E()及V().,解 由已知，1,2,3，,所以考生甲正确完成题数的概率分布为,(3)试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平.,解 乙考生正确完成题数的概率分布为,所以E()E()，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同.,所以V()V()，这表明的取值比的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的能力比乙生强.,典例：(14分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 ，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2. (1)若m10，求甲袋中红球的个数；,答题模板系列8 离散型随机变量的均值与方差问题,思 维 点 拨,规 范 解 答,思 维 点 拨,规 范 解 答,概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球.,解 设甲袋中红球的个数为x，,依题意得x10 4.,思 维 点 拨,规 范 解 答,(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是 ，求P2的值；,思 维 点 拨,规 范 解 答,思 维 点 拨,规 范 解 答,利用方程的思想，列方程求解.,思 维 点 拨,规 范 解 答,(3)设P2 ，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次.设表示摸出红球的总次数，求的概率分布和均值.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,求概率分布和均值，关键是求的所有可能值及每个值所对应的概率.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,解 的所有可能值为0,1,2,3.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,所以的概率分布为,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值. 第二步：求每一个可能值所对应的概率. 第三步：列出离散型随机变量的概率分布. 第四步：求均值和方差. 第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值.(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.,方 法 与 技 巧,1.均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)(a，b为常数). (2)若X服从两点分布，则E(X)p，V(X)p(1p). (3)若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np，V(X)np(1p).,方 法 与 技 巧,2.求离散型随机变量均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解. (2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解. (3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解.,失 误 与 防 范,1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.,2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.,1.已知随机变量的分布列为P(k) ，k1,2,3， n，则P(25) .,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,解析 P(25)P(3)P(4)P(5) .,2.随机变量的概率分布如下，其中a、b、c为等差数列，若E() ，则V()的值为 .,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,解析 由概率分布得abc1，,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,由期望E() 得ac ，,由a、b、c为等差数列得2bac，,答案,3.(2013湖北改编)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X) .,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，,54个一面涂漆，27个没有涂漆，,答案,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,4.某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差V() .,解析 依题意，随机变量服从超几何分布，可能的取值为1,2,3.,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,的概率分布为,2,3,4,6,7,8,9,1,10,5,5.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为 .,解析 X的所有可能取值为3,2,1,0，其概率分布为,E(X)30.620.2410.09600.0642.376.,2.376,6.设随机变量B(5,0.5)，又5，则E()和V()的值分 别是 .,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,解析 因为随机变量B(5,0.5)，所以n5，p0.5，,所以E()np50.5 ，,所以E()E(5)5E()5 .,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,因为V()np(1p)50.5(10.5) ，,所以V()V(5)52V()25 .,7.若p为非负实数，随机变量的概率分布如下表，则E()的 最大值为 ，V()的最大值为 .,2,3,4,5,6,8,9,1,10,7,1,8.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为 元.,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,解析 a22a14a11，a1 ，,500,9.某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人. (1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,解 设“两人都享受折扣优惠”为事件A，,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,“两人都不享受折扣优惠”为事件B，,因为事件A，B互斥，,故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 .,(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为，求的概率分布和均值.,解 据题意，得的可能取值为0,1,2.,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,所以的概率分布为,10.为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为 ， ， .这三项测试能否通过相互之间没有影响. (1)求A能够入选的概率；,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的概率分布与均值.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,解 记表示该训练基地得到的训练经费，则的所有可能值为0,3 000,6 000,9 000,12 000.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,所以的概率分布为,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,所以，该基地得到训练经费的均值为8 000元.,2,3,4,5,6,1,解析 由已知得，3a2b0c2，,即3a2b2，其中0a ，0b1.,2,3,4,5,6,1,3,4,5,1,6,2,2.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的均值为 .,解析 由题意可知，X可以取3,4,5,6，,由均值的定义可求得E(X)5.25.,5.25,3.袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4 和4,5，此时的值是2)，则随机变量的均值E()为 .,解析 依题意得，的所有可能取值是0,1,2.,2,4,5,1,6,3,答案,2,4,5,1,6,3,4.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布如下表：,请小牛同学计算的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E() .,2,3,5,1,6,4,解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则,2,3,5,1,6,4,E()1x2(12x)3xx24x3x2.,答案 2,5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为 .,2,3,4,1,6,5,解析 记“不发芽的种子数为”，,则B(1 000,0.1)，所以E()1 0000.1100，,而X2，故E(X)E(2)2E()200.,200,6.(2014重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；,解 由古典概型的概率计算公式知所求概率为,2,3,4,5,1,6,(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的概率分布与均值. (注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数),解 X的所有可能值为1,2,3，且,2,3,4,5,1,6,故X的概率分布为,2,3,4,5,1,6,
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