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,12.4 随机变量及其概率分布,第十二章 概率、随机变量及其概率分布,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.随机变量的概率分布 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. (2)一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，分别是x1，x2，xn，且 .称此式为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 如果用下表,P(Xxi)pi，i1,2，n,来表示，则称为随机变量X的概率分布表. 具有性质： pi 0，i1,2，n； p1p2pn . 随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 .,1,概率之和,2.两点分布 如果随机变量X的概率分布表为,其中0p1，则称随机变量X服从 .,两点分布,3.超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品.从中任取n (nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么,即,其中lminn，M，n，M，NN*. 如果一个随机变量的概率分布表具有上表的形式，则称X服从超几何分布.,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( ) (2)随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布.( ),(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.( ) (5)随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (6)随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( ),17,10,P(Xk) ，,解析,例1 设X是一个随机变量，其概率分布表为,题型一 随机变量的概率分布的性质,则q_.,思维点拨,思维升华,解析,利用概率分布的性质求解.,例1 设X是一个随机变量，其概率分布表为,题型一 随机变量的概率分布的性质,则q_.,思维点拨,思维升华,解析,由概率分布的性质知,例1 设X是一个随机变量，其概率分布表为,题型一 随机变量的概率分布的性质,则q_.,思维点拨,思维升华,解析,(1)任一随机变量所代表的随机事件发生的概率P0； (2)概率分布中各概率之和等于1.,例1 设X是一个随机变量，其概率分布表为,题型一 随机变量的概率分布的性质,则q_.,思维点拨,思维升华,解析,跟踪训练1 设随机变量X的概率分布表为,求：(1)2X1的概率分布；,解 由概率分布的性质知：,0.20.10.10.3m1，m0.3.,首先列表为,从而由上表得两个概率分布为,2X1的概率分布,(2)|X1|的概率分布.,解 |X1|的概率分布,例2 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：,题型二 求离散型随机变量的概率分布,试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率；,.,.,.,.,.,.,.,.,.,思维点拨 先确定随机变量Xi(i0,1,2,3)的取值，由表可计算出P(Xi)(i0,1,2,3).,解 P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件) .,(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布.,思维点拨 先确定随机变量Xi(i0,1,2,3)的取值，由表可计算出P(Xi)(i0,1,2,3).,解 由题意知，X的可能取值为2,3.,P(X2)P(当天商品销售量为1件) ；,P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件) .,所以X的概率分布为,思维升华 求随机变量X的概率分布的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的概率分布. 求随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.,跟踪训练2 4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元. (1)从中任取一支，求其标价X的概率分布；,解 X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的概率分布为,(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的概率分布.,解 根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y20) ，,所以Y的概率分布为,例3 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 . (1)求白球的个数；,题型三 超几何分布,解 记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，,得到x5.故白球有5个.,例3 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布.,解析,思维升华,解 X服从超几何分布，,于是可得其概率分布为,例3 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布.,解析,思维升华,超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.,例3 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布.,解析,思维升华,跟踪训练3 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分.现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；,(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；,(3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的概率分布.,解 可能的取值为0,1,2,3，服从超几何分布，,P(k) ，k0,1,2,3.,的概率分布为,典例：(14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取得球的标号之和为. (1)求随机变量的概率分布；,易错警示系列18 随机变量取值不全致误,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,易 错 分 析,温 馨 提 醒,由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误.,规 范 解 答,解 由题意可得，随机变量的取值是2,3,4,6,7,10.,且P(2)0.30.30.09，,P(3)C 0.30.40.24，,P(4)0.40.40.16，,P(6)C 0.30.30.18，,P(7)C 0.40.30.24，,P(10)0.30.30.09.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,故随机变量的概率分布为,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式. 避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,典例：(14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取得球的标号之和为. (2)求随机变量的均值.,易错警示系列18 随机变量取值不全致误,易 错 分 析,温 馨 提 醒,由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误.,规 范 解 答,解 随机变量的均值,E()20.0930.2440.1660.1870.24100.095.2.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面. 避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,方 法 与 技 巧,1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.,2.求随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率.,失 误 与 防 范,掌握随机变量的概率分布表，须注意： (1)概率分布表的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布表的正误.,解析 P(Xn) (n1,2,3,4)，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,答案,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2.抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么4表示的随机试验结果是_.,解析 4即点数之和为4，故试验结果为一颗3点，一颗1点或两颗都是2点.,3,4,5,6,7,8,9,1,2,一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点,3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布规律为P(X)，则 P(X4)的值为_.,2,4,5,6,7,8,9,1,3,解析 由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，,4.随机变量的所有可能的取值为1,2,3，10，且P(k) ak(k1,2，10)，则a值为_.,2,6,7,8,9,1,解析 随机变量的所有可能的取值为1,2,3，10，,且P(k)ak(k1,2，10)，,a2a3a10a1，,55a1，a .,2,3,5,6,7,8,9,1,4,5.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，若P(Xk) ，则k_.,解析 X服从超几何分布P(Xk) ，故k4.,2,3,4,6,7,8,9,1,5,4,6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)、若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_.,解析 X1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，,2,3,4,5,7,8,9,1,6,X0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，,X1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，,X2，甲抢到2题均答对，,X3，甲抢到3题均答对.,答案 1,0,1,2,3,2,3,4,5,7,8,9,1,6,7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量， 则P(6)_.,2,3,4,5,6,8,9,1,7,8.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则 P(X4)_.,解析 相应的基本事件空间有36个基本事件，,其中X2对应(1,1)；X3对应(1,2)，(2,1)；X4对应(1,3)，(2,2)，(3,1).,所以P(X4)P(X2)P(X3)P(X4),2,3,4,5,6,7,9,1,8,9.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励. (1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；,2,3,4,5,6,7,8,1,9,解 设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，,故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为 .,2,3,4,5,6,7,8,1,9,(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的概率分布.,解 随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.,2,3,4,5,6,7,8,1,9,所以，随机变量X的概率分布为,2,3,4,5,6,7,8,1,9,2,3,4,5,1,1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为_.,解析 1524,2314,3425，,X的所有可能值为C 37.,7,2.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布表为,2,3,4,5,1,答案 0.1 0.6 0.3,3.由于电脑故障，使得随机变量X的概率分布表中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：,2,3,4,5,1,则丢失的两个数据依次为_.,解析 由于0.200.100.x50.100.1y0.201，,得0.x50.1y0.40，于是两个数据分别为2,5.,2,5,4.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的概率分布表为_.,2,3,4,5,1,解析 的所有可能值为0,1,2.,的概率分布表为,答案,2,3,4,5,1,5.已知甲箱中只放有x个红球与y个白球(x，y0，且xy6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别).若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球. (1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；,2,3,4,5,1,当且仅当xy时等号成立，,所以，当P取得最大值时xy3.,2,3,4,5,1,解 当x2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以的所有可能取值为0,1,2,3.,(2)当x2时，求取出的3个球中红球个数的概率分布.,2,3,4,5,1,所以红球个数的概率分布为,2,3,4,5,1,
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