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数学 苏（理）,10.2 排列与组合,第十章 计数原理,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.排列与组合的概念,一定的顺序,2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示.,所有不同组合,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n！,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n1)！n！nn！.( ) (5)A nA .( ) (6)kC nC .( ),48,24,12,14,有1名女生：C C 8.,解析,有2名女生：C C 6.,不同的选派方案有8614(种).,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端；,题型一 排列问题,解析,思维点拨,先考虑甲的排法或先考虑中间位置排法.,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端；,题型一 排列问题,解析,思维点拨,解 方法一 (元素分析法) 先排甲有6种，其余有A 种， 故共有6A 241 920(种)排法.,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端；,题型一 排列问题,方法二 (位置分析法) 中间和两端有A 种排法，包括甲在内的其余6人有A 种排法，故共有A A 336720241 920(种)排法.,解析,思维点拨,方法三 (等机会法) 9个人的全排列数有A 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A 241 920(种).,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端；,题型一 排列问题,方法四 (间接法) A 3A 6A 241 920(种).,解析,思维点拨,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须排在两端；,解析,思维点拨,先排特殊元素.,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须排在两端；,解析,思维点拨,解 先排甲、乙，再排其余7人，,共有A A 10 080(种)排法.,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须排在两端；,解析,思维点拨,思维点拨,解析,思维升华,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (3)男女相间.,插空法.,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (3)男女相间.,思维点拨,解析,思维升华,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (3)男女相间.,思维点拨,解析,思维升华,本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.,例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (3)男女相间.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1 由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数， 求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？,解 不考虑0在首位，0,1,4,5先排三个位置，,跟踪训练1 由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数， 求：(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？,题型二 组合问题,解析,思维点拨,可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？,题型二 组合问题,解析,思维点拨,从余下的34种商品中， 选取2种有C 561(种)，,某一种假货必须在内的不同取法有561种.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？,题型二 组合问题,解析,思维点拨,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解析,思维点拨,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,思维点拨,解析,思维升华,可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,思维点拨,解析,思维升华,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,思维点拨,解析,思维升华,组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,思维点拨,解析,思维升华,(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练2 从10位学生中选出5人参加数学竞赛. (1)甲必须入选的有多少种不同的选法？,解 学生甲入选，再从剩下的9人选4人， 故甲必须入选的有C 126(种)不同选法.,(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？,解析 没有限制条件的选择方法有C 252种，,甲、乙、丙同时都入选有C 21种，,故甲、乙、丙不能同时都入选的有25221231(种)不同的选法.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？,题型三 排列与组合的综合应用问题,解析,思维点拨,把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？,题型三 排列与组合的综合应用问题,解析,思维点拨,为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C C C A 144(种)放法.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？,题型三 排列与组合的综合应用问题,解析,思维点拨,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？,解析,思维点拨,把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？,解析,思维点拨,“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？,解析,思维点拨,思维点拨,解析,思维升华,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？,把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？,思维点拨,解析,思维升华,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？,思维点拨,解析,思维升华,排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.,例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 (1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有_种.,18,跟踪训练3 (2)(2014重庆改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_.,解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，,有A C A 36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有A A 48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法.,跟踪训练3 (2)(2014重庆改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_.,120,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,1 136,(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,1 136,先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,1 136,(2)“至少、至多”型问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.,易 错 分 析,解 析,温 馨 提 醒,典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.,易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误,1 136,方 法 与 技 巧,1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.,方 法 与 技 巧,2.排列、组合问题的求解方法与技巧： (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步； (3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.,失 误 与 防 范,求解排列与组合问题的三个注意点： (1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理. (2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏.,1.(2014四川改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种.,解析 第一类：甲在最左端，有A 54321120(种)方法；,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,第二类：乙在最左端，有4A 4432196(种)方法.所以共有12096216(种)方法.,216,2.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种.,解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 6(种)选派方法. 由分步计数原理得不同的选派方案共有2612(种).,12,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为_.,420,解析 从后排抽2人的方法种数是C ；前排的排列方法种数是A .由分步计数原理知不同调整方法种数是C A 420.,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,4.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种.,解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A 种排法；,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,答案 42,5.如图所示，要使电路接通，开关不同的开闭方式有_种.,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,所以共有14721(种)方式.,21,6.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有_种.,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,解析 可先排C、D、E三人，共A 种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的排法共有A 60(种).,60,7.(2013北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_.,解析 将5张参观券分成4堆，有2个连号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 种分法，不同的分法种数共有4A 96.,96,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,8.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_.,解析 先把两奇数捆绑在一起有A 种方法，再用插空法共有A C A 8个.,8,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,9.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种.,解析 甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A A 24种.,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,24,10.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？,解 设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,由分类计数原理，选派方法数共有61281238种.,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,1.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为_.,解析 先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A A A 5 760种.,5 760,2.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有_种.,2,3,4,5,6,1,答案 24,2,3,4,5,6,1,3.(2014广东)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为_.,解析 在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi 1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有C 2种；,2,3,4,5,6,1,两个1(或1)，三个0，有C 2种；,一个1，一个1，三个0，有A 种；,两个1(或1)，一个1(或1)，两个0，有C C 2种；,答案 130,2,3,4,5,6,1,4.(2013浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答).,解析 分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.,480,2,3,4,5,6,1,5.(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).,解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 种分法；,2,3,4,5,6,1,答案 60,2,3,4,5,6,1,6.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？ (1)两个女生必须相邻而站；,解 两个女生必须相邻而站， 把两个女生看做一个元素， 则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有A A 1 440(种)站法.,2,3,4,5,6,1,(2)4名男生互不相邻；,解 4名男生互不相邻， 应用插空法， 要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有A A 144(种)站法.,2,3,4,5,6,1,(3)老师不站中间，女生甲不站左端.,解 当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A 720(种)站法，,2,3,4,5,6,1,
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