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6.3 等比数列,高考理数,一、等比数列的有关概念 1.通项公式:如果等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项公式是 an=a1qn-1(q0) . 2.等比中项:如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的 等比中项 ,且 = ,即 G2=ab . 3.前n项和公式: Sn= 二、等比数列的性质 已知等比数列an的前n项和为Sn. (1)数列can(c0),|an|,anbn(bn是等比数列), , 等也是等比数列. (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列. (3)若m+n=p+q,则 aman=apaq ,知识清单,特别地,若m+n=2p,则 aman= . (4)a1an=a2an-1=aman-m+1. (5)当an的公比q-1或q=-1且m为奇数时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,是等比数列. (6)当n是偶数时,S偶=S奇q; 当n是奇数时,S奇=a1+S偶q. 【知识拓展】 解决与等比数列有关的问题的常见思想方法. (1)方程的思想.等比数列可以由首项a1和公比q确定,一般可以通过列方程(组)求关键量a1和q,问 题可迎刃而解. (2)数形结合的思想.通项公式an=a1qn-1可化为an= qn,因此an是关于n的函数,即点(n,an)是曲线y= qx上的一群孤立的点. 单调性:当 或 时,an是递增数列;,当 或 时,an是递减数列; 当q=1时,an为常数列; 当q0时,an为摆动数列. (3)分类思想.当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn= = .等比 数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是常考的易错点.,等比数列的基本运算方法: (1)等比数列可以由首项a1和公比q确定,所有关于等比数列的计算和证明,都可围绕a1和q进行. (2)对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1,q.如果再给出第三个条 件就可以完成an,a1,q,n,Sn的“知三求二”问题. 例1 (1)(2016辽宁抚顺二模,10,5分)在正项等比数列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,则 等于 ( ) A. B. C. D. (2)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5= ( ) A. B. C. D. 解析 (1)设公比为q,则由an+1an,知0q1, 由a2a8=6,得 =6,突破方法,方法1 等比数列的基本运算,a5= ,a4+a6= + q=5, 解得q= ,而 = = = ,故选D. (2)由an0,a2a4= q4=1,S3=a1+a1q+a1q2=7, 解得a1=4,q= 或- (舍去), 所以S5= = = ,故选B. 答案 (1)D (2)B 1-1 (2016广西玉林3月模拟,7,5分)已知数列an的首项a1=1,an+1=3Sn(n1),则下列结论正确的 是 ( ) A.数列an是等比数列 B.数列a2,a3,an是等比数列 C.数列an是等差数列,D.数列a2,a3,an是等差数列 答案 B 解析 当n2时,an=3Sn-1,an+1=3Sn,两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1),即an+1-an=3an,即 =4(n2),又 a2=3S1=3a1=3,故数列从第2项起是等比数列,故选B. 1-2 (2016辽宁沈阳质检,15,5分)数列an是等比数列,若a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+anan+1= . 答案 (1-4-n) 解析 由题意得q3= = q= , an=a2qn-2= , anan+1= = =8 , 数列anan+1是以8为首项, 为公比的等比数列,a1a2+a2a3+anan+1= = (1-4-n).,在等比数列的基本运算问题中,一般是建立a1、q满足的方程组,求解方程组,但如果灵活运 用等比数列的性质,便可减少运算量,提高解题速度,要注意挖掘已知中的“隐含条件”. 例2 (1)(2016北京海淀二模,5,5分)已知等比数列an中,有a3a11=4a7 ,数列bn是等差数列,且b7= a7,则b5+b9等于 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 (2)(2016宁夏银川三模,6,5分)等比数列an的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6= ( ) A.126 B.63 C.124 D.120 解析 (1)a3a11= =4a7,a70, a7=4,b7=4. bn为等差数列,b5+b9=2b7=8,故选C. (2)对等比数列an(q-1),有S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,S2=6,S4-S2=30-6=24,S6-S4= =96, S6=S4+96=126.故选A. 答案 (1)C (2)A,方法2 等比数列的性质及应用,2-1 (2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C 解析 由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8=lg(a1 a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选C.,(1)在解决等差、等比数列综合问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的 方法.但用“基本量法”,并树立“目标意识”,需要什么,就求什么,往往能取得与“巧用性质” 相同的解题效果. (2)等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即an为等差数列 (a0且a1)为等比数 列;an为正项等比数列logaan(a0且a1)为等差数列. 例3 设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等 差数列. (1)求数列an的通项; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn. 解题导引 (1)利用已知条件求a1和q,再利用通项公式求an;(2)利用(1)中通项公式求bn,再利用前n 项和公式求Tn. 解析 (1)由已知得 a2=2.,方法3 等差、等比数列综合问题的解法,设数列an的公比为q,由a2=2,可得a1= ,a3=2q, 又S3=7,所以 +2+2q=7,即2q2-5q+2=0. 解得q1=2,q2= (舍去), a1=1. 故数列an的通项为an=2n-1. (2)由(1)得a3n+1=23n, bn=ln 23n=3nln 2. 又bn+1-bn=3ln 2,数列bn为等差数列. Tn=b1+b2+bn= = = ln 2. 故Tn= ln 2. 3-1 (2013天津,19,14分)已知首项为 的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S 3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.,(1)求数列an的通项公式; (2)设Tn=Sn- (nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值. 解析 (1)设等比数列an的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a 5,即4a5=a3,于是q2= = . 又an不是递减数列且a1= ,所以q=- .故等比数列an的通项公式为an= =(-1)n-1 . (2)由(1)得Sn=1- = 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1Sn- S2- = - =- .,综上,对于nN*,总有- Sn- . 所以数列Tn最大项的值为 ,最小项的值为- .,
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